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\newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}

\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}			%plus grand ou égal
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\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}	% équivalent
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           % \rfoot{#3}
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\begin{document}
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%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
\entetecor{Pondichéry}{26 avril 2017}{}{}

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%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à  flanc de montagne. 

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2~m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe 
$\mathcal{C}$. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3.2)

\psframe[fillstyle=vlines](-3,0)(3,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{13.5 x dup mul 2 mul sub ln}
\psline(2.5,0)(-2.5,0)}
\rput(-2.1,2.5){montagne}\rput(0,1.6){zone de creusement}
\uput[ur](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-0.2)(3,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 

On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par: 

\[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\] 

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour $x \in  [- 2,5~;~2,5]$.

\begin{solution}
Sur $[- 2,5~;~2,5],~0 \leqslant x^2 \leqslant 6,25 \iff 0 \leqslant 2x^2 \leqslant 12,5 \iff - 12,5 \leqslant - 2x^2 \leqslant 0 \iff $

$1 \leqslant - 2x^2 + 13,5 \leqslant 13,5$. 

$f = \ln (u)$ avec $u$ dérivable et strictement positive sur $[- 2,5~;~2,5]$ , \:\:
$f$ est donc dérivable sur $[- 2,5~;~2,5]$ 

$f'=\dfrac{u'}{u}$ avec $\begin{cases}
u(x) = -2x^2+13,5\\ u'(x)= - 4x
\end{cases}$

$\forall x \in [- 2,5~;~2,5]\:,\:f'(x) = \dfrac{-4x}{-2x^2+13,5}$

\end{solution}

\item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur 
$[- 2,5~;~2,5]$. 

En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. 

\begin{solution}
sur $[- 2,5~;~2,5]$,\:on a vu que $-2x^2 + 13,5 > 1 > 0$  donc $f'(x)$ est du signe de $- 4x$ soit $f'(x) > 0$ sur $[- 2,5~;~0[$ et $f'(x) < 0$ sur $]0~;~2,5]$. On en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
		\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
		\begin{pspicture}(9,3)
		\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
		\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-2,5$} \uput[u](5,2.4){$0$} \uput[u](8.5,2.4){$2,5$} 
		\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){$-$}
		\uput[u](1.5,0){$0 $}
		\uput[d](5,2){$\ln(13,5) $}
		\uput[u](8.5,0){$0 $}
		\rput(0.5,1){$f(x)$}
		\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.5)
		\psline{->}(5.3,1.5)(8,0.3)
		\end{pspicture}
		\end{center} 
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement}

\medskip 

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à  l'axe des ordonnées du repère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

\begin{solution}

D'après les deux points sur l'axe des abscisses, le diamètre d'un tel cercle serait de 5 donc son rayon de 2,5 or $f(0)=\ln(13,5)\neq 2,5$

$\mathcal{C}$ n'est donc pas un arc de cercle de centre O 
\end{solution}

\item Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est 

$\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$. 

\begin{solution}
La courbe $\mathcal{C}$ étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et au dessus de l'axe des abscisses, l'aire est donnée par $2\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$ en unité d'aire.

Or une unité d'aire est de 4 m$^2$ puisque l'unité du repère orthonormé est de 2 m.

Finalement l'aire de creusement est bien donnée par $\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$.
\end{solution}

\item L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$, notée $a$. 

On admet que : $a \leqslant  I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times  2,5$. 

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. 

\begin{solution}
 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}
Initialisation						&$S = 0$,   $n = 50 $&\multicolumn{2}{c}{~}\\  \hline     
Boucle Pour						&Étape $k$ 			&  $R$ &  $S$\\ \hline   
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  1							&   \surj{$0,05 f(0,05)= \numprint{0,130116}$}   		&\surj{$\numprint{0,130116}$}\\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  2							&   \numprint{0,130060}&\numprint{0,260176}  \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  3							&   \numprint{0,129968}&\numprint{0,390144} \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  4							&   \numprint{0,129837}   &\surj{\numprint{0,519981}} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}	&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&24 &  \numprint{0,118137}&   \numprint{3,025705}\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&25&   \numprint{0,116970}&   \numprint{3,142675} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&49&   \numprint{0,020106}&   \numprint{5,197538} \\ \cline{2-4}   
\multicolumn{1}{c|}{~}&50&   \surj{$0,05 \times f(2,5) = 0$}&  \surj{$S + 0 = \numprint{5,197538}$}  \\ \hline
Affichage & S = \surj{$\numprint{5,197538}$} &\multicolumn{2}{c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}

\end{solution}

		\item En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 
		
		\begin{solution}
L'algorithme donne une valeur approchée par défaut de $I$ et il est admis que :

$a \leqslant I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5$, donc on obtient :

$\numprint{5,197538} \leqslant I \leqslant \numprint{5,197538} + \dfrac{\ln (13,5)}{50}\times 2,5 $ ou

$\numprint{5,197538} \leqslant I \leqslant \numprint{5,197538} + \numprint{0,130135}$ et enfin 
$\numprint{5,197538} \leqslant I \leqslant \numprint{5,32767}$

Or $\mathcal{A}=8I$, donc 

$8 \times \numprint{5,197538} \leqslant 8 \times I \leqslant 8 \times \numprint{5,32767}$ ou 

$41,583 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 42,622$ donc $42-1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 42+1$.

Donc l'aire de creusement a une valeur approchée de 42 m$^2$, au mètre carré près.

		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  