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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle de géométrie dans l'espace}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
SABCD est une pyramide régulière à base carrée. M est le milieu de [SA], 
N est le point de [SC] tel que $SN =\dfrac{3}{4} SC$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont sécantes. 


\item Placer le point d’intersection de (MN) et (AC).

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,6.)
\psline(0.,0.)(5.,0.)
\psline(5.,0.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](7,2.)(2,2.)
\psline[linestyle=dashed](2,2.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(5.,0.)
\psline(3.,5.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](3.,5.)(2,2.)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.16,-0.32){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,2.)
\rput[bl](7.08,2.2){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.66,2.2){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,5.)
\rput[bl](3.08,5.2){\blue{$S$}}
\psdots[dotstyle=x](1.5,2.5)
\uput[l](1.5,2.5){M}
\psdots[dotstyle=x]	(6,2.75)
\uput[r](6,2.75){N}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un tétraèdre ABCD, I est un point de l’arête [AB], J un point de l’arête [CD].
 
Le but de l’exercice est de trouver l’intersection des plans (AJB) et (CID). 

\begin{enumerate}
\item Prouver que chacun des points I et J appartient à la fois aux plans (AJB) et   (CID). 

\item Quelle est alors l’intersection de ces deux plans. 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,6.)
\psline(0.,0.)(5.,0.)
\psline(5.,0.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](7,2.)(2,2.)
\psline[linestyle=dashed](2,2.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(0.,0.)
\psline(3.,5.)(5.,0.)
\psline(3.,5.)(7,2.)
\psline[linestyle=dashed](3.,5.)(2,2.)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.16,-0.32){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,2.)
\rput[bl](7.08,2.2){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.66,2.2){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,5.)
\rput[bl](3.08,5.2){\blue{$S$}}
%\psdots[dotstyle=x](1.5,2.5)
%\uput[l](1.5,2.5){M}
%\psdots[dotstyle=x]	(6,2.75)
%\uput[r](6,2.75){N}
\end{pspicture*}
\end{center}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On considère un cube ABCDEFGH,  
 
I est un point de l’arête [AB], J un point de  l’arête [CG]. 

Quelle est l’intersection des plans (ABJ) et (CGI) ?
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,8.)
\pspolygon(0.,5.)(5.,5.)(7.,7.)(2.,7.)
\psline(0.,0.)(5.,0.)
\psline(5.,0.)(7.,2.)
\psline[linestyle=dashed](7.,2.)(2.,2.)
\psline[linestyle=dashed](2.,2.)(0.,0.)
\psline(0.,5.)(5.,5.)
\psline(5.,5.)(7.,7.)
\psline(7.,7.)(2.,7.)
\psline(2.,7.)(0.,5.)
\psline(0.,0.)(0.,5.)
\psline(5.,0.)(5.,5.)
\psline(7.,2.)(7.,7.)
\psline[linestyle=dashed](2.,2.)(2.,7.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.16,-0.32){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,2.)
\rput[bl](7.08,2.2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.66,2.2){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,5.)
\rput[bl](-0.32,4.6){\blue{$E$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.,5.)
\rput[bl](5.18,4.74){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.,7.)
\rput[bl](7.08,7.12){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,7.)
\rput[bl](2.08,7.12){\darkgray{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](4.08,0.)
\rput[bl](4.16,0.2){\xdxdff{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](7.,5.38)
\rput[bl](7.08,5.58){\xdxdff{$J$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A(0~;~3~;~4)$, $B(1~;~-1~;~-1)$ et $C(2~;~0~;~2)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

\item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le point A(1~;~3~;~-5) et le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-5\\2\end{pmatrix}$.

Donner  une équation du plan $\mathscr{P}$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et passant par $A$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ d'équations respectives :\\
$\mathscr{P}~: ~2x+3y-5z+8=0$ et \\
$\mathscr{Q}~:~3x-7y-3z-5=0$.

Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont-ils perpendiculaires ?

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne \\
$2x+3y-z+2=0$ et un point $A(1~;~5~;~-2)$.

Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.


\end{multicols}\label{fin}
\end{document} 