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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}\textcolor{red}{TS : Propriétés algébriques des nombres complexes} }\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Produit}}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.

\item Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item En déduire $j^n$ selon les valeurs de $n$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}

\item Soit $z=3+4\mathrm{i}$ ; calculer $z\overline{z}$.

\item Soit $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$. Calculer $z\overline{z}$.

\noindent Pouvait-on deviner la réponse sans calcul ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'un nombre complexe}}
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\dfrac{1}{\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{1}{2+3\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{1}{7-4\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{1}{j}$ où \\
$j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Quotient de deux nombres complexes}}
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$A=$]

\item $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-7\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{5+9\mathrm{i}}{5-9\mathrm{i}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on associe, à tout point $M$ d'affixe $z$; le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}$.\\
On désigne par A le point d'affixe 3 et par $B$ celui d'affixe $2\mathrm{i}$.\\

\begin{enumerate}
\item  On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$, avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.\\
Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$  et $y$.

\item Démontrer que l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan, tels que $M'$ soit un point de l'axe des réels $(0~;~\overrightarrow{u})$, est le cercle de diamètre $[AB]$ privé d'un point que l'on précisera. 

\item Résoudre l'équatlon $\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}=1$.\\
On désigne par K le point d'affixe $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$.\\
Justifier sans calcul que $K\in\Gamma$. 
\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}\textcolor{red}{TS : Propriétés algébriques des nombres complexes} }\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Produit}}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.

\item Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item En déduire $j^n$ selon les valeurs de $n$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}

\item Soit $z=3+4\mathrm{i}$ ; calculer $z\overline{z}$.

\item Soit $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$. Calculer $z\overline{z}$.

\noindent Pouvait-on deviner la réponse sans calcul ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'un nombre complexe}}
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\dfrac{1}{\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{1}{2+3\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{1}{7-4\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{1}{j}$ où \\
$j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Quotient de deux nombres complexes}}
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$A=$]

\item $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-7\mathrm{i}}$

\item $\dfrac{5+9\mathrm{i}}{5-9\mathrm{i}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on associe, à tout point $M$ d'affixe $z$; le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}$.\\
On désigne par A le point d'affixe 3 et par $B$ celui d'affixe $2\mathrm{i}$.\\

\begin{enumerate}
\item  On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$, avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.\\
Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$  et $y$.

\item Démontrer que l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan, tels que $M'$ soit un point de l'axe des réels $(0~;~\overrightarrow{u})$, est le cercle de diamètre $[AB]$ privé d'un point que l'on précisera. 

\item Résoudre l'équatlon $\dfrac{z-3}{\mathrm{i}z+2}=1$.\\
On désigne par K le point d'affixe $\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$.\\
Justifier sans calcul que $K\in\Gamma$. 
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  