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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur le produit scalaire dans le plan}}\end{center}

\subsection{}
Dans la figure ci-dessous : ABC est un triangle isocèle en A, AIBJ est un parallélogramme et BC = 4.

\noindent Calculer les produits scalaires suivants :

\parbox{12cm}{\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-1.)(5.,7.)
\pspolygon(2.,5.)(0.,0.)(4.,0.)
\pspolygon(2.,5.)(0.,0.)(-2.,1.44)(0.,6.44)
\pspolygon(2.4242640687119286,0.)(2.4242640687119286,0.4242640687119287)(2.,0.42426406871192873)(2.,0.)
\pspolygon(0.42426406871192873,0.)(0.4242640687119288,0.4242640687119287)(0.,0.42426406871192873)(0.,0.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(2.,-1.)(2.,6.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,5.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(2.,5.)
\psline(0.,-1.)(0.,6.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,5.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(-2.,1.44)
\psline[linecolor=zzttqq](-2.,1.44)(0.,6.44)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,6.44)(2.,5.)
\psline(0.,0.)(0.,6.44)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.34,-0.46){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.)
\rput[bl](3.82,-0.52){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](2.,5.)
\rput[bl](2.08,5.2){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,0.)
\uput[d](2,0){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,6.44)
\rput[bl](-0.32,6.46){\xdxdff{$J$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.,1.44)
\rput[bl](-2.14,1.56){\darkgray{$I$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
}\hfill
\parbox{6cm}{\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{JC}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AJ}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{I A}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BI}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CI}$
\end{enumerate}}

\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=7$, $BC=3$ et $AC=5$.

\begin{enumerate}

\item Exprimer $\overrightarrow{AB}$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$.

\item En calculant $\overrightarrow{AB}^2$, exprimer $AB^2$ à l'aide de $AC$, $BC$ et $\cos \widehat{C}$.

\item En déduire une mesure de $\widehat{C}$.

\item Calculer, en degrés, une mesure approchée au centième de $\widehat{A}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Relation métrique du parallélogramme :}} 
Soit ABCD un parallélogramme.\\
Montrer que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre cotés, c’est-à-dire que : \[AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\]  (utiliser une des identités remarquables concernant les produits scalaires et la relation de Chasles).


\subsection{}
On considère les points A(~;~1) et B(-1~;~3).
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente en B au cercle $\mathscr{C}$ de centre A passant par B.

\item Déterminer une équation du cercle C.

\end{enumerate}



\newpage
\setcounter{subsection}{0}
\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{\Huge Correction}}
\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BQ} = 4\times 2 = 8$

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{JC} =\overrightarrow{BC}.BC = 4^2 = 16 $

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OB} = -4\times 2 = -8 $

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{I A} =\overrightarrow{BC}.\left( \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BA}\right) =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}.0\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{JA}+4\times 2 = 4\times 2+8 = 16$

\item $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{OB} = -2^2 = -4 $.

\item $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CI} =\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{
CB}+\overrightarrow{BI}\right) =\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BI} = -4^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AJ} = -16-4\times 2 = -24$

\end{enumerate}
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $AB^2=\overrightarrow{AB}^2=\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)^2=\overrightarrow{CB}^2+\overrightarrow{CB}^2-2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=BC^2+AC^2-2CA\times CB\times \cos\widehat{C}$.

On en déduit : $\cos\widehat{C}=-\dfrac{AB^2-AC^2-BC^2}{2AC\times BC}=-0,5$ donc $\widehat{C}=120$ \degre

\item On trouve de même $\widehat{A}\approx 21,79$ \degre..
\end{enumerate}


\setcounter{subsection}{0}
\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme.\\
$AC^2+BD^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{BD}^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+BC^2+CD^2+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}\\
=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2++2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2+2\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right)\\
=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{0}=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2$.

\bigskip

$\boxed{\textcolor{red}{AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+BC^2+CD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)}}$.\\
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés.



\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$!
est un vecteur normal de la tangente qui admet donc une équation de la forme : \[-3x+2y+c = 0.\]
La tangente doit passer par B. On en déduit que $-3\times (-1)+2\times 3+c = 0$ donc $c = -9.$

Une équation de la tangente est donc : $-3x+2y-9 = 0.$

\item  Le rayon du cercle est égal à la distance AB. Or, $AB =\sqrt{(-3)^2+2^2 }=\sqrt{13}.$

Une équation du cercle est donc $\left(x-x_A\right)^2+\left(y-yA\right)^2 = 13$, c’est à dire $(x-2)^2+(y-1)^2 = 13$.
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  