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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les dérivées (semaine du 17/1/2017) }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :

$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.

\subsection{}
Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.

\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.

\item La démontrer.
\end{enumerate}

\subsection{}
 $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin x$.\\

\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer les dérivées successives $f'$, f$''$, $f^{(3)}$ et $f^{(4)}$.

\item Établir que, pour tout réel $x$, \[f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2} \right),~n\in \mathbb{N}^*.\]
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'une fonction auxiliaire}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
\noindent On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=x\sqrt{x^2+1}-1.\]

\begin{enumerate}

\item Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item \'Etudier les variations de $g$.

\item Démontrer qu'il existe un unique $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.\\
Donner un encadrement de $\alpha$ = 0,1 près.

\item En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R} $.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B : \'Etude d'une fonction}}\\

\noindent Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\sqrt{x^2+1}}$.

\item Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^4-3}{3\alpha}$ ; en déduire une valeur approchée.

\item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.\\
Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les dérivées (semaine du 17/1/2017) }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :

$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.

\subsection{}
Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.

\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.

\item La démontrer.
\end{enumerate}

\subsection{}
 $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin x$.\\

\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer les dérivées successives $f'$, f$''$, $f^{(3)}$ et $f^{(4)}$.

\item Établir que, pour tout réel $x$, \[f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2} \right),~n\in \mathbb{N}^*.\]
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'une fonction auxiliaire}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
\noindent On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=x\sqrt{x^2+1}-1.\]

\begin{enumerate}

\item Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item \'Etudier les variations de $g$.

\item Démontrer qu'il existe un unique $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.\\
Donner un encadrement de $\alpha$ = 0,1 près.

\item En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R} $.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B : \'Etude d'une fonction}}\\

\noindent Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\sqrt{x^2+1}}$.

\item Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^4-3}{3\alpha}$ ; en déduire une valeur approchée.

\item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.\\
Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  