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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de l'équation : \[x^3-6x+2=0\]

\item Montrer que l'intervalle $[-1~;~2]$ contient une seule des solutions précédentes.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^5+x^3.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.

\item Démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$.

\item Donner un encadrement d'amplitude 0,001 de $\alpha$.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Conjecturer pour quelle(s) valeur(s) de $k$ l'équation $\dfrac{1}{3}x^3-x^2=k$ admet une unique solution.

\item Démontrer cette conjecture.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit l'équation : $x^3+x-14=0$.
\begin{enumerate}

\item Montrer que cette équation n'a aucune solution négative.

\item Étudier le nombre de solutions sur $\mathbb{R}^+$. Donner un encadrement de la ou des solution(s) à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0~;~1]$ , qui prend ses valeurs dans l'intervalle $[0~;~1]$.

\noindent Par conséquent : $\forall x\in[0~;~1]$, $f(x)\in[0~;~1]$).

\noindent Démontrer que $f$ a un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un réel $x$ de $[0~;~1]$ tel que $f(x)=x$.

\end{multicols}

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%\item À l'aide d'une calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de l'équation : \[x^3-6x+2=0\]
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%\item Montrer que l'intervalle $[-1~;~2]$ contient une seule des solutions précédentes.
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%On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^5+x^3.\]
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%\begin{enumerate}
%\item Étudier les variations de $f$.
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%\item Démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$.
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%\item Donner un encadrement d'amplitude 0,001 de $\alpha$.
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%\begin{enumerate}
%\item Conjecturer pour quelle(s) valeur(s) de $k$ l'équation $\dfrac{1}{3}x^3-x^2=k$ admet une unique solution.
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%\item Démontrer cette conjecture.
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%Soit l'équation : $x^3+x-14=0$.
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%\item Montrer que cette équation n'a aucune solution négative.
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%\item Étudier le nombre de solutions sur $\mathbb{R}^+$. Donner un encadrement de la ou des solution(s) à $10^{-3}$ près.
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%Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0~;~1]$ , qui prend ses valeurs dans l'intervalle $[0~;~1]$.
%
%\noindent Par conséquent : $\forall x\in[0~;~1]$, $f(x)\in[0~;~1]$).
%
%\noindent Démontrer que $f$ a un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un réel $x$ de $[0~;~1]$ tel que $f(x)=x$.
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\label{fin}
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