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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD (continuité et dérivation)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction continue sur $[0~;~1]$ et dont les images appartiennent à $[0~;~1]$. Montrer que $f$ admet un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un nombre $x$ tel que $f(x)=x$.

\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\begin{cases}g(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\text{ si }x\neq 0\\
g(0)=0\end{cases}$.

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de $g$.

\item Montrer que $g$ est continue en 0.

\item La fonction $g$ est-elle dérivable en 0 (on pourra poser $h=x^2$).
Interpréter graphiquement.

\item Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Interpréter graphiquement.

\item Étudier le sens de variation de 
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{D'après Réunion juin 2004}}
Une fonction $f$ a sur $[0+\infty[$ pour tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\d&0&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$, respectivement comprises dans les intervalles $[0~;~1]$ et $[1~;~+\infty[$.

\item Déterminer le sens de variation des suites $\left(_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et trouver sa limite.

\item Montrer de même que la suite $\left(u_n\right)$ converge et trouver sa limite.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est-elle continue en 0 ?

\item $f$ est-elle dérivable en 0 ? On pourra utiliser la formule $1-\cos x=2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

\item $f$ est)elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}


\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD (continuité et dérivation)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction continue sur $[0~;~1]$ et dont les images appartiennent à $[0~;~1]$. Montrer que $f$ admet un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un nombre $x$ tel que $f(x)=x$.

\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\begin{cases}g(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\text{ si }x\neq 0\\
g(0)=0\end{cases}$.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de $g$.

\item Montrer que $g$ est continue en 0.

\item La fonction $g$ est-elle dérivable en 0 (on pourra poser $h=x^2$).
Interpréter graphiquement.

\item Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Interpréter graphiquement.

\item Étudier le sens de variation de 
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{D'après Réunion juin 2004}}
Une fonction $f$ a sur $[0+\infty[$ pour tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\d&0&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$, respectivement comprises dans les intervalles $[0~;~1]$ et $[1~;~+\infty[$.

\item Déterminer le sens de variation des suites $\left(_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et trouver sa limite.

\item Montrer de même que la suite $\left(u_n\right)$ converge et trouver sa limite.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est-elle continue en 0 ?

\item $f$ est-elle dérivable en 0 ? On pourra utiliser la formule $1-\cos x=2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

\item $f$ est)elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}


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\label{fin}
\end{document}  