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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercice sur la fonction $\ln$ (groupe 2)}}\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{D'après Bac Centres Étrangers juin 2000}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{\ln\left(\mathrm{e}^{2x}-1\right)}{\mathrm{e}^{x}}.\]

\subsection*{\textcolor{red}{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item On définit la fonction  $g$ sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par \[g(x)=2x-(x-1)\ln(x-1).\]
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers 1.

\item Calculer $g'(x)$ pour $x\in]1~;~+\infty[$.

\item Résoudre dans l'intervalle $x\in[1~;~+\infty[$ l'inéquation \[1-\ln(x-1)>0.\]

\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $]1~;~+\infty[$.

\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ a une solution unique, notée $\alpha$, dans l'intervalle \\
$[\mathrm{e}+1~;~\mathrm{e}^{3}+1]$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item $\varphi$ est la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par \[\varphi(x)=\dfrac{\ln\left(x^2-1\right)}{x}\].
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $\varphi$ en 1 et montrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=0$.

\item Clculer $\varphi '(x)$ et montrer que $\varphi '(x)$ est du signe de $g\left(x^2\right)$ sur $[1~;~+\infty[$.

\item Montrer que $\varphi$ est croissante sur $\left]1~;~\sqrt{\alpha}\right]$ et décroissante sur $\left[\sqrt{\alpha}~;~+\infty\right[$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $x\in]0~;~+\infty[$, $f(x)=\varphi\left(\mathrm{e}^{x}\right)$.

\item En déduire :
\begin{enumerate}
\item la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.

\item la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

\item le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et que $f$ admet un maximum en $\ln\left(\sqrt{\alpha}\right)$.
\end{enumerate}

\item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $f(x)\leqslant \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}

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\vspace{0.5cm}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercice sur la fonction $\ln$ (groupe 2)}}\end{center}


\subsection*{\textcolor{blue}{D'après Bac Centres Étrangers juin 2000}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{\ln\left(\mathrm{e}^{2x}-1\right)}{\mathrm{e}^{x}}.\]

\subsection*{\textcolor{red}{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item On définit la fonction  $g$ sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par \[g(x)=2x-(x-1)\ln(x-1).\]
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers 1.

\item Calculer $g'(x)$ pour $x\in]1~;~+\infty[$.

\item Résoudre dans l'intervalle $x\in[1~;~+\infty[$ l'inéquation \[1-\ln(x-1)>0.\]

\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $]1~;~+\infty[$.

\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ a une solution unique, notée $\alpha$, dans l'intervalle \\
$[\mathrm{e}+1~;~\mathrm{e}^{3}+1]$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item $\varphi$ est la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par \[\varphi(x)=\dfrac{\ln\left(x^2-1\right)}{x}\].
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $\varphi$ en 1 et montrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=0$.

\item Clculer $\varphi '(x)$ et montrer que $\varphi '(x)$ est du signe de $g\left(x^2\right)$ sur $[1~;~+\infty[$.

\item Montrer que $\varphi$ est croissante sur $\left]1~;~\sqrt{\alpha}\right]$ et décroissante sur $\left[\sqrt{\alpha}~;~+\infty\right[$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $x\in]0~;~+\infty[$, $f(x)=\varphi\left(\mathrm{e}^{x}\right)$.

\item En déduire :
\begin{enumerate}
\item la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.

\item la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

\item le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et que $f$ admet un maximum en $\ln\left(\sqrt{\alpha}\right)$.
\end{enumerate}

\item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $f(x)\leqslant \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  