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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur les limites de fonctions}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux}}
Soient deux fonctions $f$ et $g$  définies sur $[0~;~+\infty[$.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\begin{enumerate}
\item Si $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$, alors $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$.

\item Si $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$.

\item Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$, alors \\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=-1$.

\item On suppose que pour tout $x\geqslant 0$; $0\leqslant f(x)\leqslant x$. \\
Alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ dont on donne le tableau de variations ci-dessous :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\end{variations}
\end{center}
Dresser, en justifiant, les tableaux de variation des fonctions $-f$, $|f|$, $f^{2}$ et $\dfrac{1}{f}$, en précisant les limites aux bornes de $\mathbb{R}^{*}$.

\columnbreak

\subsection{}
Ci-dessous est représentée la fonction définie par \\
$f(x)=x+1-\sin(x)$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-30,-20)(30,20)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-30,-20)(30,20)
\psplot[plotpoints=200]{-30.0}{30.0}{x+1-SIN(x)}
\rput[bl](-32.85,-32){$f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.


\subsection{}
Étudier la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de  \[f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}.\]


\subsection{}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative, dans un repère du plan, de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :\\
$f(x)=\sqrt{x^2+4}-3x$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer : $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.

\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation \\
$y=-4x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ en $-\infty$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$.

\item Démontrer que la droite d'équation \\
$y=-2x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  