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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : TD sur la fonction exponentielle (fin du chapitre)}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{ax^2+bx+c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{\mathrm{e}^{2}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
De plus, on sait que $f(0)=\mathrm{e}^{\frac 32}$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant les renseignements ci-dessous, trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Vérifier que la droite d'équation $x=1$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après problème de bac S (Pondichéry 95)}}


Les trois parties peuvent  être traitées de façon indépendante.
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A :}}\\

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ définie par \\
$f(x)=(\lambda x+\mu)e^{-x}$ vérifie $f''+2f'+f=0$.

On admet que toutes les fonctions vérifiant \\
$f''+2f'+f=0$ sont de cette forme.

\item Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(0 ;1)$ et admet en ce point une tangente horizontale.\\
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B :}}\\
On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+1)e^{-x}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j})$. (unité graphique : 4 cm)
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f$.

\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et donner une interprétation graphique du résultat.\\
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$.

\item Montrer que l'équation $f(x)=\frac{1}{4}$ admet exactement  deux solutions réelles. On notera $\alpha$ et $\beta$ ces solutions ($\alpha < \beta$).\\
Montrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle $\left]-1 ;-\frac{1}{2}\right[$.\\
Déterminer une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près par défaut en justifiant la méthode employée.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie C :}}\\

Pour tout entier $k$, on note $f_k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=(x+1)e^{-kx}$.On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de $f_k$ dans le repère orthonormal joint.\\
Lorsque $k=1$, on retrouve la fonction $f$ étudiée dans la partie B, c'est-à-dire que dans ce cas, $f_1=f$ et $\mathcal{C}_1=\mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la fonction $f_0$ ?
\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de \\
$(x+1)(e^{-x}-1)$. En déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_k$ et de $\mathcal{C}_{k+1}$.
\item On suppose que $k$ est non nul.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'_k(x)$ pour tout $k$ non nul.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f_k$ (distinguer les cas : $k>0$ et $k<0$).
\item On a représenté sur le graphique joint quatre courbes $\mathcal{E}$,$\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ et $\mathcal{H}$ correspondant à quatre valeurs différentes de $k$. Identifier ces valeurs, en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,4)
\psset{xunit=2,yunit=0.4}
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(5,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-10)(0,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-12)(5,8)
%repre
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=100,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3}{1.3}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot{-2}{5}{x 1 add }
\psplot[plotpoints=100,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{x 1 add 2.71828 x neg exp mul}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=cyan,linewidth=1.5pt]{-1.15}{5}{x 1 add 2.71828 x 4 mul neg exp mul}
\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  