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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices (dérivation, exponentielle)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Radial \no  59 page 75
Un randonneur, arrivé au point A, doit terminer sa promenade au point C. S'il suit le sentier, il lui reste à parcourir la distance égale  900\meter et la distance BC égale à 200\meter (les chemins [AB] et [BC] étant perpendiculaires).

Pressé, il décide de quitter le sentier et de couper à travers champ, puis de rejoindre C sans passer par B. 

L'objectif de l'exercice est de de déterminer l'endroit  où le randonneur doit quitter le chemin pour mettre le moins de temps possible à rejoindre le point C.

On précise que la vitesse du randonneur est constante et égale à 6\kilo\meter.\reciprocal\hour sur le sentier et 5\kilo\meter.\reciprocal\hour dans le champ.

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(10.,3.)
\pspolygon(9.,0.42426406871192873)(8.57573593128807,0.4242640687119288)(8.57573593128807,0.)(9.,0.)
\psline(0.,0.)(9.,0.)
\psline(9.,2.)(9.,0.)
\psline(9.,2.)(3.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.12,-0.42){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.,0.)
\rput[bl](8.74,-0.54){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.,2.)
\rput[bl](9.08,2.2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,0.)
\rput[bl](2.86,-0.52){\blue{$M$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
Soit M un point situé entre A et B ; on pose $\text{AM}=x$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la durée totale (en heures) du parcours AM + MC est : \[f(x)=\dfrac{x}{6}+\dfrac{\sqrt{x^{2}-1,8x+0,85}}{5}\text{ avec }0\leqslant x\leqslant 0,9\]

\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~0,9]$.

\item Répondre au problème posé.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Fonctions convexes}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ est convexe lorsque :
\[\forall x\in I,~\forall y\in I,~f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\leqslant \dfrac{f(x)+f(y)}{2}.\]
\end{bclogo}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f:x\mapsto x^{2}$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?

\item La fonction $f:x\mapsto \sqrt{x}$ est-elle convexe sur $[0~;~=\infty[$ ?

\item La fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est-elle convexe sur $\left]0~;~+\infty\right[$ ?
\end{enumerate}

\item Interpréter graphiquement l'inégalité de la définition (on représentera une courbe avec $A(x~;~f(x))$, $B(y~;~f(y)))$.

\item Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f''(x)\geqslant 0$.

\begin{enumerate}
\item Soit $x_{0}$ un réel et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=f\left(\dfrac{x+x_{0}}{2}\right)-\left[\dfrac{f(x)+f\left(x_{0}\right)}{2}\right].\]
Prouver que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer la dérivée $g'$ de $g$.

\item Démontrer que : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $x<x_{0}$, $g'(x)>0$

\item Si $x>x_{0}$, $g'(x)>0$
\end{enumerate}

\item En déduire que, pour tout réel $x$, $g(x)\leqslant 0$ puis que $f$ est une fonction convexe.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
On rappelle  que $\exp$ est l'unique fonction non nulle dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que \systeme{f'=f,f(0)=1}.

\noindent On cherche une fonction $f$ non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que \systeme{f'=f,f(0)=\lambda} \hspace{1cm}$\lambda\neq 0$.

Pour cela, on pose $g=\dfrac{1}{\lambda}f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'alors, $g'=g$ et que $g(0)=1$.

\item En déduire l'expression de $g$ puis celle de $f$. (on admet que $g$ est unique)
\end{enumerate}



\subsection{}

On cherche une fonction $f$, non nulle, dérivable sur $\mathbb{R}$ et telle que \systeme{f'=kf,f(0)=1}\hspace{1cm} $k\in\mathbb{R}$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que $g:x\mapsto \exp(kx)$ convient.

\item Comment montrerait-on l'unicité d'une telle fonction

\item En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=1}

\item En déduire une fonction $f$ telle que \systeme{f'=2f,f(0)=\lambda}, $\lambda\in\mathbb{R}$

\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  