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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercice sur la loi binomiale}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Réunion juin 2009}}
Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. 

On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.
 
On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ I'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement C \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. 
	\item  Calculer la probabilité de l'évènement D \og le sac est défectueux \fg. 
	\item  Calculer la probabilité de l'évènement E \og le sac ne présente aucun défaut\fg. 
	\item  Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ?
	\end{enumerate} 
\item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. 

On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
	\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. 
	\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	
	 Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud, novembre 2009}}
On considère un questionnaire comportant cinq questions.

\medskip

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte.

\medskip

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

\medskip

Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a répondu $B$  aux  première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien y-a-t'il de mots-réponses possible à ce questionnaire~?
		\item On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
		
Calculer la probabilité des évènements suivants~:
		
		$E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg.
		
		$F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg.
		
		$G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg\ (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome).
	\end{enumerate}
	\item Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur  demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
	
	On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}



\newpage
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Correction}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Réunion juin 2009}}

\begin{enumerate}
\item %Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. 

%On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.
% 
%On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ I'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item % Calculer la probabilité de l'évènement C \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg.
Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $p(C) = p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$

$ p(C) = 0,02 \times 0,01 = \nombre{0,0002}$ 
	\item  %Calculer la probabilité de l'évènement D \og le sac est défectueux \fg.
On a $p(D) = p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0,02 + 0,01 - \nombre{0,0002}= \nombre{0,0298}$.	 
	\item  %Calculer la probabilité de l'évènement E \og le sac ne présente aucun défaut\fg.$,  
On a $E = \overline{D}$ d'o\`u $p(E) = 1 - p(D) = 1 -  \nombre{0,0298} = \nombre{0,9702}$.
	\item  %Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ?
On a $p_{A}(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{\nombre{0,0002}}{0,02} = 0,01$. (en fait $\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A) \times p(B)}{p(A)} = p(B)).$
	\end{enumerate} 
\item %On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. 

%On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défectueux).

La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 

$n = 100$ et $p = 0,03$. 
	\item %Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
On sait que la probabilité que $k,~0 \leqslant k \leqslant 100$ sacs soient défectueux est :
\[p(X = k) = \binom{100}{k} 0,03^k (1 - 0,03)^{100-k}\]

L'évènement contraire de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} est \og il n'y a pas de sac défectueux qui a une probabilité de 

$\displaystyle\binom{100}{0}0,03^0 \times 0,97^{100} = 0,97^{100} \approx \nombre{0,0476}$.

La probabilité d'avoir au moins un sac défectueux est donc égale à 

$1 - 0,97^{100} \approx 0,952 \approx 0,95$ (au centième près).

Interprétation : pour 100 sacs prélevés il y a à peu près 95 chances sur 100 d'avoir au moins un sac défectueux.
	\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
Pour cette loi binomiale on a E $ = n \times p = 100 \times 0,03 = 3$.	
%Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.

Interprétation : sur 100 sacs prélevés il y a en moyenne 3 sacs défectueux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud, novembre 2009}}

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item 
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]	
		\item %Combien y-a-t'il de mots-réponses possible à ce questionnaire~?
Trois réponses possibles pour chacune des cinq questions : il y a donc $3^5 = 243$ mots possibles.
		\item %On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
		
%		Calculer la probabilité des événements suivants~:
		
%		$E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg.
L'élève repète 5 fois l'expérience de Bernouilli : obtenir la bonne réponse avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$;  ces expériences sont indépendantes, donc la variable aléatoire $Z$ donnant le nombre de réponses exactes suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = \dfrac{1}{3}$.

Donc $p(Z = 1) = \displaystyle\binom{5}{1}\left(\dfrac{1}{3} \right)^1 \left(1 -  \dfrac{1}{3}\right)^{5 - 1} = 5 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2^4}{3^4} = \dfrac{80}{243} = p(E)$.		
%		$F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg.

De même, la probabilité qu'il n'ait aucune réponse juste est :

$p(Z = 0) = \displaystyle{5}{0}\left(\dfrac{1}{3} \right)^0 \left(1 -  \dfrac{1}{3}\right)^{5 - 0} = \dfrac{2^5}{3^5} = \dfrac{32}{243} = p(F)$.		
		%$G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg\ (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome).
		
Un palindrome est de la forme $\overline{abcba}$ : les trois premiers peuvent être quelconques, mais le quatrième choix doit être le même que le second et le dernier le même que le premier : la probabilité est donc égale à $1 \times 1 \times 1 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}  = p(G).$
	\end{enumerate}
	\item %Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur  demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
	
%On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]	
		\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
D'après la question 1. un élève a la probabilité égale à $\dfrac{32}{243}$ de n'avoir aucune réponse exacte. Les élèves répondant de fa\c{c}on indépendante les uns des autres, la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 28$ et de probabilité  $p=\dfrac{32}{243}$.
		\item %Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.
La probabilité cherchée est égale à :

$p(X \leqslant 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = \displaystyle\binom{28}{0}\left(\dfrac{32}{243} \right)^0 \left(1 - \dfrac{32}{243} \right)^{28 - 0} +$

$ \displaystyle\binom{28}{1}\left(\dfrac{32}{243} \right)^1 \left(1 - \dfrac{32}{243} \right)^{28 - 1} = \left(\dfrac{211}{243}\right)^{28} +
 28 \times \dfrac{32}{243} \times \left(\dfrac{211}{243}\right)^{27} \approx \nombre{0,1006} \approx 0,10$ au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  