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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac (loi normale)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A \quad  Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager}

\medskip

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$. \index{loi normale}

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.075cm,yunit=5cm}
%%algebraic=true
%\begin{pspicture}(-80,-0.1)(80,1.1)
%\psframe(-80,-0.1)(80,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000](0,0)(-75,0)(75,0)
%\multido{\n=-75+10,\na=10+10}{15}{\uput[d](\n,0){\na}}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-80}{80}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.45pt,linecolor=blue]{-80}{-21}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%\psline(-21,0)(-80,0)}
%\uput[d](-20,0){\blue 64}\rput(-35,0.1){16\,\%}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {5}   \def\xmax {165}
\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{84}% moyenne 
\def\s{20}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{\xmin} \def\sup{64}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}
\multido{\n=10+10}{15}
{
\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}
\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
\rput(55,0.003){\bf 16\,\%}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
		\item Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
	\end{enumerate}
\item On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
		\item Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
		\item En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$.
	
Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5~ans.
		\item Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à
10 ans.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro}

\medskip

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.

L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans
supplémentaires.

Des études statistiques menées \textbf{sur les clients qui prennent l'extension de garantie}
montrent que 11,5\,\% d'entre eux font jouer l'extension de garantie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut
assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette
extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité
utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item  L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65~euros supplémentaires,
El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399~euros, \textbf{si
une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la
cinquième année}. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la
panne est réparable.
	
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie,
et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur
ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
	
\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$.
		\item Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour
l'entreprise ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2015}}
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100~grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle. 

\bigskip

\textbf{Partie A Contrôle avant la mise sur le marché}

\medskip
 

Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. 

La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.\index{loi normale} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : \og la tablette est mise sur le marché \fg. 
\item On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97. 

Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement \og la tablette est mise sur le marché\fg soit égale à $0,97$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Contrôle à la réception}

\medskip 

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7\,\%. On dit alors que la fève est conforme. 

L'entreprise a trois fournisseurs différents : 

le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30\,\% et le dernier apporte 20\,\% du stock. 

Pour le premier, 98\,\% de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90\,\% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20\,\% de fèves non conformes. 

On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement \og la fève provient du fournisseur $i$ \fg, pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement \og la fève est conforme \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$. 
\item Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92\,\% de fèves qu'elle achète soient conformes. 

Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  