\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\newtheorem{thm}{Th\'{e}or\`{e}me}
\newtheorem{rmq}{Remarque}
\newtheorem{prop}{Propri\'{e}t\'{e}}
\newtheorem{ex}{Exemple}
\newtheorem{exer}{Exercice}
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\def\di{\displaystyle}
\newcommand{\vtab}{\rule[-0.4em]{0pt}{1.2em}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
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\begin{document}

%\title{Devoir surveill\'{e} 1 - 2nde}         % Enter your title between curly braces
%\maketitle
\hfill\\[-0.4cm]
NOM : \hspace{11cm} PRENOM : \\
\\
\\
$$\fbox{\Large{\text{Devoir surveillé commun \no 1 - TS$1$ \& TS$2$ - 01/10/16 - Durée : 3 heures}}}$$
\hfill\\
\\
\\
\\
\textbf{L'usage de la calculatrice est autorisé. Tout résultat doit être soigneusement justifié. La qualité de la rédaction et de la présentation seront prises en compte dans la notation.}\\
\\
\\




\noindent\underline{\textbf{Exercice 1 :}}\\
Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite $(u_n)$ :
\begin{enumerate}
\item $u_{n} = -2n^3+5n^2-4n+1$
\item $u_{n} = \di\frac{n^2-2n+3}{4n^3+5}$
\item $u_{n} = \di\frac{1}{n}(n^2+5n-7)$
\item $u_{n} = \sqrt{n^2+1}-n$
\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 2 :}}\\
Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $6^n-1$ est divisible par $5$.\\
\\

\noindent\underline{\textbf{Exercice 3 :}}\\
Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, 
$$\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 4 :}}\\
On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ et telle qu'aucun de ses termes ne soit nul.\\
On définit alors la suite $(v_n)$ sur $\mathbb{N}$ par $v_n=-\dfrac{4}{u_n}$.\\
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
\begin{enumerate}
\item Si la suite $(u_n)$ est convergente, alors la suite $(v_n)$ est convergente.

\item Si la suite $(u_n)$ est minorée par $2$, alors la suite $(v_n)$ est minorée par $2$.

\item Si la suite $(u_n)$ est décroissante, alors la suite $(v_n)$ est croissante.

\item Si la suite $(u_n)$ est divergente, alors la suite $(v_n)$ admet $0$ comme limite.
\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 5 :}}\\
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-4n+2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

\item Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant 2n$.

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n=u_n-2n$.

\begin{enumerate}[$a.$]
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

\item En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Exprimer la somme $S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\di\sum_{i=0}^{n}u_i$ en fonction de $n$.\\
\textbf{Indication :} on regroupera les termes judicieusement de manière à pouvoir utiliser les deux formules donnant la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique et celle des termes consécutifs d'une suite géométrique.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\underline{\textbf{Exercice 6 :}}\\
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Calculer $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Calculer $w_{0}$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		\item En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. Que peut-on en déduire quant à la nature de la suite $(w_n)$ ?
		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
		\end{enumerate} 
\item Déduire des questions $2d$ et $3d$ que, pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \di\sum_{k=0}^{n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}
\hfill\\






\noindent\underline{\textbf{Bonus :}}\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergeant vers $2$.\\
Montrer que tous les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang.


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\end{document}
