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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/6}
\lfoot{Devoir sur table \no 3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
13 mai 2017}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 4 (4 heures)}}\end{center}

Ce sujet comporte quatre exercices ; l'exercice IV est à choisir en fonction de la spécialité suivie.

\subsection{}%\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2014}

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z_n$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=& 16\\ 
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]
 
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

\medskip\index{complexes et suite}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$. 
		\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous.
		\begin{center}

\bigskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
%\multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,9)}
%\multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](-5,\n)(18,\n)}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-5,-2)(18,9) 
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
 
		\item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique. 
		\item Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
	\item Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\index{suite géométrique}
 
\item La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?
 
\item Interpréter géométriquement le résultat précédent. 
\end{enumerate}


\item On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$,  etc. 
 
Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$. 
		\item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Pondichéry avril 2015
\noindent \textbf{Partie A} \\

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]\index{fonction avec exponentielle}

\noindent Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, la courbe
représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\def\pshlabel#1{\small#1}
\def\psvlabel#1{\small#1}
\begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4)
\psframe(-2.75,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}
\uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\item Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.\index{asymptote}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B}

\medskip

\noindent Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 3 - f(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb{R}$.
\item On désigne par $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$.

Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$.\index{primitive}
\item  Soit $a$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$.\index{aire et intégrale}
		\item Démontrer que $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
		\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par $\left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant & 0\\
f(x) &\leqslant y&\leqslant 3
\end{array}\right.$

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\subsection{}%D'après Bac (Antilles-Guyane - 2013 (Sesamaths page 344)
\noindent\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\noindent Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large.

\noindent Sa démarche est très particulière :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
\item soit il avance d'un pas tout droit ;
\item soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
\item soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).
\end{enumerate}


\noindent On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.


\noindent L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg.

\bigskip

\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Modélisation et simulation}}

\bigskip


\noindent On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ I\, ,\, J)$ comme l'indique la figure ci-dessous.

\noindent On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées $(0\ ;\ 0)$ au
début de la traversée. 

\noindent On note $(x\ ;\ y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1)
\rput(-0.5,0.4){départ}
\uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\noindent On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$x, y, n$ sont des entiers\\
Affecter à  $x$ la valeur 0\\
Affecter à  $y$ la valeur 0\\ 
Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à  $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$\\
\hspace{1.5cm}Affecter à  $y$ la valeur $y + n$\\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à  $x$ la valeur $x + 1$ \\
Fin tant que\\ 
Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 



\begin{enumerate}
\item On donne les couples suivants : $(-1\ ;\ 1)$ ; $(10\ ;\ 0)$; $(2\ ;\ 4)$ ; $(10\ ;\ 2)$.

Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
\item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x\ ;\ y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

\noindent Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
\begin{enumerate}[$\diamond$]
  \item $A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg.
  \item $B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg.
  \item $C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg.
\end{enumerate}

\noindent On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.


\begin{enumerate}
\item Justifier que $a_0=0$, $b_0=1$, $c_0=0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a :

\vspace{-\baselineskip}$$\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\
b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3}
\end{array}\right..$$

On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
\item Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right)$, $p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$.
\item Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.

\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu ci-dessous la feuille de calcul qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10.

Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous).

$$\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &$a_{n}$ &$b_{n}$ &$c_{n}$ \\ \hline
0	&0				&1				&0\\ \hline
1	&\numprint{0,333333} 	&\numprint{0,333333} 	&\numprint{0,333333}\\ \hline 
2 	&\numprint{0,222222} 	&\numprint{0,333333} 	&\numprint{0,222222}\\ \hline 
3 	&\numprint{0,185185} 	&\numprint{0,259259} 	&\numprint{0,185185}\\ \hline 
4 	&\numprint{0,148148} 	&\numprint{0,209877} 	&\numprint{0,148148}\\ \hline
5 	&\numprint{0,119342} 	&\numprint{0,168724} 	&\numprint{0,119342}\\ \hline
6 	&\numprint{0,096022} 	&\numprint{0,135802} 	&\numprint{0,096022}\\ \hline
7 	&\numprint{0,077275} 	&\numprint{0,109282} 	&\numprint{0,077275}\\ \hline 
8 	&\numprint{0,062186} 	&\numprint{0,087944} 	&\numprint{0,062186}\\ \hline 
9 	&\numprint{0,050043} 	&\numprint{0,070772} 	&\numprint{0,050043}\\ \hline 
10 	&\numprint{0,040272} 	&\numprint{0,056953} 	&\numprint{0,040272}\\ \hline 
\end{tabularx}$$
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{} %Antilles juin 2013

\noindent\textbf{Réservé aux candidats ne suivant pas la spécialité mathématiques}

\begin{multicols}{2}
\noindent\textbf{Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:}
\\
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.\\
On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.\\
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,\\
le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,\\
le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$,\\
le point $L$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

\begin{center}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,hatchcolor=lightgray,fillstyle=hlines,hatchangle=75.0,hatchsep=0.1](1,1)(5.04,5.26)(3.32,6.58)
\psline(1,1)(5.04,1.26)
\psline(5.04,1.26)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](7.36,2.84)(3.32,2.58)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(1,1)
\psline(1,1)(1,5)
\psline(1,5)(5.04,5.26)
\psline(5.04,5.26)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(3.32,6.58)
\psline(7.36,2.84)(7.36,6.84)
\psline(5.04,5.26)(5.04,1.26)
\psline(5.04,5.26)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.32,6.58)
\psline(3.32,6.58)(5.04,5.26)
\psline[linestyle=dashed](1,5)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](6.2,2.05)(1,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](0.72,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,1.26)
\rput[bl](5.1,1){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,2.58)
\rput[bl](3.4,2.7){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5)
\rput[bl](0.74,5.12){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,2.84)
\rput[bl](7.54,2.7){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,5.26)
\rput[bl](5.24,5){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,6.58)
\rput[bl](3.12,6.8){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,6.84)
\rput[bl](7.48,6.84){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,3)
\rput[bl](0.7,3.02){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.2,2.05)
\rput[bl](6.4,1.7){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.18,5.92)
\rput[bl](4.26,5.96){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.12,4.28)
\rput[bl](3.06,4.46){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}

\end{center}

\end{multicols}

\medskip

\noindent\emph{Ceci est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question, la lettre correspondant à  la réponse choisie \textbf{ainsi que la justification de votre réponse}. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  0.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  $(-1)$.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  1.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  2.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item $\overrightarrow{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[$a.$]
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac12\overrightarrow{AH} + \frac12\overrightarrow{AF}$.
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AK}$.
		\item $\overrightarrow{ID}=\frac12\overrightarrow{IJ}$.
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}+\frac23\overrightarrow{AE}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{IV}}
\noindent\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (E) à résoudre dans $\mathbb{Z}$ : 

\[7 x - 5 y = 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple (3~;~4) est solution de (E).
		\item Montrer que le couple d'entiers $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si
\[7(x - 3) = 5(y - 4).\]
		\item Montrer que les solutions entières de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs tels que :
		
\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & 5k + 3\\
y & 7k + 4
\end{array}\right. \text{ où }  k \in \mathbb{Z}.\]
	\end{enumerate}		
\item Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts. 

Sachant que $7x - 5 y = 1$, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?

\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}

\item On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC.
À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

$\bullet~~$Lorsqu'on est en A :

Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.

$\bullet~~$Lorsqu'on est en B :

Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.

$\bullet~~$Lorsqu'on est en C : 

Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$,\: $b_n$ et $c_n$ les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape $n$.

On note $X_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}$ et $T$ la matrice $\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16\\
 0,12 &0,72 &0,16\\
0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}$.

Donner la matrice ligne $X_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: 
 
 $X_{n+1} = X_nT$.
\item  On admet que $T = PDP^{-1}$ où \\
$P^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{37}{110}&\frac{4}{11}\\[3pt] 
\frac{1}{10}&- \frac{1}{10}&0\\[3pt]
0&\frac{1}{11}&- \frac{1}{11}\end{pmatrix}$
et $D = \begin{pmatrix}1&0&0&\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice $P$. On pourra remarquer qu'ils sont entiers.
		\item Montrer que $T^n = PD^nP^{-1}$.
		\item Donner sans justification les coefficients de la matrice $D^n$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
		
On note $\alpha_n,\:\beta_n,\:\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T^n$ ainsi :
		
\[T^n = \begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n&\gamma_n\\\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots\end{pmatrix}\]

On admet que $:\\
\alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n$ et 
$\beta_n = \dfrac{37 - 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}$.\\[5pt]
On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
\item  On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: \\
$X_n = X_0T^n$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres $a_n$,\: $b_n$, à l'aide des coefficients $\alpha_n$ et $\beta_n$. En déduire $c_n$.
		\item Déterminer les limites des suites $\left(a_n\right)$,\: $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
		\item Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  