\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
22 avril 2017}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 3 (4 heures)}}\end{center}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2014}
\label{complexes} 

\medskip

On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Le graphique sera fait sur l'annexe (page $5$).

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 

\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
\index{complexes} 
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.
 
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique fourni en annexe, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 

On laissera les traits de construction apparents. 
\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 

\[|f(z) - 8| = 3.\]
\index{complexes et géométrie}
 
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

Tracer (F) sur le graphique. 
\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est 

\[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
 
		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
		 
Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
 
Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}%\textcolor{blue}{Déclic \no 81 page 146}
\label{fonctions}
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ (unité graphique 5 cm).

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

Soit la fonction $f_1$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f_1(x)=x\mathrm{e}^{-x^2}$ et $\mathscr{C}_1$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel positif $x$, $f_1'(x)=\mathrm{e}^{-x^2}-2x^2\mathrm{e}^{-x^2}$.

En déduire le sens de variation  de $f_1$.

\item Calculer la limite de $f_1$ en $+\infty$ (on pourra poser $u=x^2$). Interpréter graphiquement ce résultat.

\item Dresser le tableau de variation de $f_1$.

\item On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y=x$. Déterminer la position de $\mathscr{C}_1$ par rapport à $\Delta$.

$\Delta$ et $\mathscr{C}_1$ sont tracées sur l'annexe II. On complètera la figure dans les parties suivantes.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

On considère la fonction $f_3$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f_3(x)=x^3\mathrm{e}^{-x^2}$ et on appelle $\mathscr{C}_3$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ positif, $f_3'(x)$ a le même signe que $\left(3-2x^2\right)$.

En déduire le sens de variation de $f_3$.

\item Déterminer les positions relatives de $\mathscr{C}_1$ et de $\mathscr{C}_3$.

\item Tracer $\mathscr{C}_3$ dans le même repère que $\mathscr{C}_1$ (on admettra que $\mathscr{C}_3$ a la même asymptote qur $\mathscr{C}_1$ au voisinage de $+\infty$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

On désigne par $n$ un entier naturel $n$ non nul et on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :$$f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x^2}$$

On note $\mathscr{C}_n$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $f_n$ admet un maximum pour $x=\sqrt{\dfrac{n}{2}}$. On note $\alpha_n$ ce maximum.

\item On appelle $S_n$ le point de $\mathscr{C}_n$ d'abscisse $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$.

Montrer que, pour tout $n$, $\mathscr{C}_n$ passe par $S_2$.

Placer $S_1$, $S_2$ et $S_3$ sur la figure.
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2016}


Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation

\[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
\item Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique

\[(d)\ :\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 12 - 2t\\
y &=& 9 - 2t\\ 
z &=&t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb{R}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les
coordonnées.
		\item Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
		\item Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que
	
\[- 10 \leqslant  m \leqslant 10\quad \text{et}\quad  - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\]

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
		\item Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si

\[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
		
		\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline		
\emph{Variables :}	&$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement :}	&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
					&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
					&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
					&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
					&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
					&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabularx}		
		\end{center}
Quel est le rôle de cet algorithme?
		\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1),\: (0~;~1) \ \text{et} \ (5~;~- 4)$.
		
Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\footnotesize
\subsection{}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2013}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\numprint{0,0001}$\unboldmath~ près.}

\medskip
 
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
 
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\:\% est porteur de la maladie. 

On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\:\% des cas ; 
\item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\:\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
 
On note :

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] M l'évènement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ;
\item[ ] T l'évènement : \og le test est positif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 
\item Un animal est choisi au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? 
		\item  Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
 	\end{enumerate} 
\item Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ? 
\item On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
	\end{enumerate} 
\item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \numprint{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit.
 
D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Coût& $0$& 100 &\numprint{1000}\\ \hline 
Probabilité &\numprint{0,9405} &\numprint{0,0580} &\numprint{0,0015}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. 
		\item Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


%\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{IV (spécialité)}}% Antilles-Guyane septembre 2016

\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60\,\% présentent des failles de sécurité. Afin
de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter
les défaillances.

On estime que chaque jour, il remet en état 7\,\% des ordinateurs défaillants, tandis que de
nouvelles failles apparaissent chez 3\,\% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le
nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc
informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs
défaillants au bout de $n$ jours.

Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
\item Déterminer $a_1$ et $b_1$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, \[X_{n+1} = AX_n\].
		\item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\[a_{n+1} + b_{n+1} = 1\].
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
		
\[X_{n+1} = DX_n + B.\]
		
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: 
\begin{center}
$Y_n = X_n - 10B$.
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		\begin{center}
$Y_{n+1} = DY_n$.
\end{center}
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
		\begin{center}
$Y_n = D^nY_0$.
\end{center}
		
En déduire que pour tout entier naturel $n$,
\begin{center}
$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
\end{center}
		\item Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate}
\item Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le
long terme ?
\end{enumerate}

\end{multicols}

\newpage

\textbf{\textcolor{blue}{NOM :}}

\textbf{\textcolor{blue}{CLASSE :}}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L'EXERCICE \ref{complexes}}}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\def\xmin{-3.2} \def\xmax{3.2} \def\ymin{-3.2} \def\ymax{3.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=2pt](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-3,-3)(3,3)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){$O$}
%\psset{linecolor=red}
%\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
%\psline(-1,\ymin)(-1,\ymax)
%\psdots(2;120)(2;-120)
%\uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$}
%\psset{linecolor=blue}
%\pscircle(-1,0){1.732}
%\uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$}
%\psdots(-1,0)
%\uput[ul](-2,1.4){\blue (F)}
%\uput[d](2.5,0){$D_1$}
%\uput[l](-1,2.5){\red $D_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\newpage


\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L'EXERCICE \ref{fonctions}}}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(2.,2.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.,-2.)(2.,2.)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2.0}{2.0}{x*EXP(-x^(2.0))}
\psplot{-2.}{2.}{(-0.--1.*x)/1.}
\multido{\r=-2+0.2}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\r,-2)(\r,2)}
\multido{\r=-2+0.2}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](-2,\r)(2,\r)}
\uput[u](1.6,0.1){$\mathscr{C}_1$}
\uput[u](1.6,1.6){$\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}