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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 2 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
03 décembre 2016}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}
\hfill\\

\noindent\emph{Les exercices I, III et IV sont communs à tout le monde, l'exercice II est à choisir selon que l'élève suit ou non l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1\hfill (5points)}}%Asie juin 2003
\noindent L'espace $E$ est rapporté au repére orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.\\
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives :

\[A(3 ~;~ - 2 ~;~ 2) \quad ; \quad B(6~;~ 1~;~ 5) \quad;\quad
 C(6~ ;~ - 2~ ;~ -1).\]
 
\vspace{0,4cm}

\psset{unit=1cm}\begin{center} \begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(1,3.8)(2.8,4.8)(7.6,1.5)(0,0)%ABDC
\psline(0,0)(2.8,4.8)%BC
\psline(3.9,0)(3.9,5)%axe des $z$
\psline(5.5,4.85)(1.4,0)%axe des $x$
\psline(0,3.6)(8,2.35)%axe des $y$
\psline[linewidth=2pt]{->}(3.9,3)(3.6,2.6) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(3.9,3)(4.5,2.9) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(3.9,3)(3.9,3.6)
\uput[l](1,3.8){A} \uput[u](2.8,4.8){B} 
\uput[d](7.6,1.5){D}  \uput[d](0,0){C} 
\uput[ul](3.9,3){O}  \uput[ul](3.6,2.6){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[dl](4.5,2.9){$\overrightarrow{\jmath}$}  \uput[l](3.9,3.6){$\overrightarrow{k}$} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\begin{enumerate} \item Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. 

\item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$. 

\noindent Montrer que $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite $(AB)$ et passe par le point $A$. 

\item Soit $\mathcal{P}'$ le plan orthogonal à la droite $(AC)$ et passant par le point $A$. 

\noindent Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}'$. 

\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, droite 
d'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} 

\begin{enumerate} \item Soit $D$ le point de coordonnées $(0 ~;~ 4 ~;~ - 1)$.

 Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$. 

\item Calculer le volume du tétraèdre $ABDC$.

\item Montrer que l'angle géométrique $\widehat{BDC}$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radian.

\item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $BDC$.

\item En déduire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II \hfill (5points)}}%Asie juin 2004 (5 points)
\noindent\emph{(pour les élèves \textbf{ne suivant pas} l'enseignement de spécialité)}

\bigskip

\noindent L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté au repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.


\noindent On appelle :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - y + 5 = 0$,


\item $\mathcal{Q}$ le plan d'équation $3x + y - z = 0$,

\item $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\begin{cases}x=1-t\\y=2+3t\\z=-4\end{cases},~t\in\mathbb{R}\]
\end{enumerate}

\begin{enumerate} 

\item Démontrer que $\Delta$ est parallèle au plan $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\item Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont sécants en une droite  $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & s\\
y &= &2s+5\\	
z &= &5s + 5\\
\end{array}\right. \quad \text{où $s$ est un nombre réel.}\]

\item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier 
précisément vos réponses :

\bigskip

$\bullet~$ \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 1}} : $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{R}$ d'équation : 
$- 5x + 5y - z = 0$.
\bigskip

\noindent Soit $\mathcal{D}'$ la droite de l'espace de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-3r\\
y &=&1+r\\
z&=&2 +2r\\
\end{array}\right. \quad \text{où $r$ est un nombre réel.}\]

$\bullet~$ \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 2}} : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.

\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II \hfill (5 points) }}%Amérique du Nord juin 2013
\noindent\emph{(pour les élèves \textbf{suivant} l'enseignement de spécialité)}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& 	$a$ est un entier naturel\\
	& $b$ est un entier naturel\\ 
	&$c$ est un entier naturel\\ 
Initialisation :& 	Affecter à $c$ la valeur $0$\\
			& Demander la valeur de $a$\\
			& Demander la valeur de $b$\\ 
Traitement :& 	Tant que $a \geqslant b$\\ 
			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
			Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ 
			Affecter à $a$ la valeur $a - b$
			\end{tabular}\\
			& Fin de tant que \\
Sortie : 	&Afficher $c$\\
			& Afficher $a$\\ \hline
			\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 
\item Que permet de calculer cet algorithme ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
 \bigskip
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{9.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U. 
\item Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$. 
\item %Démontrer alors l'équivalence : 

%\[9m + 5 \equiv  p\quad [26] \iff m \equiv  3p -  15\quad  [26].\]

Le but de cette question est de démontrer l'équivalence suivante :
\[9m+5\equiv p\quad [26]\Leftrightarrow m\equiv 3p-15\quad [26]\]

\begin{enumerate}
\item On suppose que $9m+5\equiv p\quad [26]$ , démontrer que $m\equiv 3 p-15\quad [26]$ .

\item Réciproquement, on suppose que $m\equiv 3p-15\quad [26]$ , démontrer que $9m+5\equiv p\quad [26]$.

\end{enumerate} 
\item Décoder alors la lettre B. 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III\hfill (5 points)}}%Antilles-Guyane S-septembre 2005
La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_{0} = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N},~ u_{n+1}	= \dfrac{1}{2}u_{n} + n - 1$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}

\item  Démontrer que pour tout $n \geqslant  3,~ u_{n} \geqslant  0$. 

\item En déduire que pour tout $n \geqslant  4,~ u_{n} \geqslant  n - 2$. 

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate} 

\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = 4u_{n} - 8n + 24$.

\begin{enumerate}

\item  Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique décroissante dont on
donnera la raison et le premier terme. 

\item Démontrer que : $\forall n \in \mathbb{N},~u_{n} = 7\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 2n -6$. 

\item Vérifier que $\forall n \in \mathbb{N},~ u_{n} = x_{n} + y_{n}$ où $\left(x_{n}\right)$ est une suite géométrique et $\left(y_{n}\right)$ une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison. 

\item En déduire l'expression de $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$	en fonction de $n$.

\end{enumerate}  
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV\hfill (5 points)}}%France septembre 2001
\noindent On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges 
indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi 
les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au 
hasard, les deux choix étant équiprobables) puis à effectuer le 
tirage d'une boule dans l'urne choisie. 

\noindent On note A l'événement \og l'urne $a$ est choisie \fg{} , B 
l'événement \og l'urne $b$ est choisie \fg{} et R l'événement \og 
une boule rouge est obtenue au tirage \fg{}. 

\noindent On note $p_{\text{A}}\left(\text{R}\right)$ la probabilité 
conditionnelle de l'événement R par rapport à l'événement A. 

\begin{enumerate} \item Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge 
et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux 
boules blanches. 

\begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités suivantes : 
$p\left(\text{A}\right)$,~ 
$p_{\text{A}}(\text{R})$,~ $p(\text{A} \cap \text{R})$. 

\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Montrer que 
\[p(R) = \dfrac{13}{30}\] 

\item Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité 
que l'urne choisie soit l'urne $a$ ? 

\end{enumerate} 

\item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient 
quatre boules blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient 
en outre $n$ boules rouges (où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou 
égal à $5$), l'urne $b$ en contient $5 - n$. 

\begin{enumerate} \item Exprimer $p_{\text{A}}\left(\text{R}\right) $ et $p_{\text{B}} 
\left(\text{R}\right)$ en fonction de $n$. 

\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Démontrer que 

\[ p(\text{R} ) = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}.\] 

\item On sait que $n$ est un entier inférieur ou égal à $5$. $n$ ne prend donc que six valeurs entières. Déterminer 
la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ 
donnant la plus grande valeur possible de $p\left(\text{R} \right) $. 

\end{enumerate} 

\end{enumerate} 


\label{fin}
\end{document}  