\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 2 bis(TS2)}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
10 décembre 2016}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS2 : devoir sur table \no 2 bis (4 heures)}}\end{center}
\hfill\\
\emph{Les calculatrices sont autorisées}


\bigskip


\subsection{}%\textcolor{blue}{Liban S juin 2007}
On considére deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$.

 L'urne $U_{1}$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires 
indiscernables au toucher.

L'urne $U_{2}$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires 
indiscernables au toucher.

On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :

\medskip

étape 1 : On tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on 
note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.

\medskip

étape $n~ (n \geqslant  2$) :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n -1)$ est 
blanche, on tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur 
et on la remet dans $U_{1}$.
\item[$\bullet~$]	Si la boule tirée à l'étape $(n - 1)$ est 
noire, on tire au hasard une boule dans $U_{2}$, on note sa couleur 
et on la remet dans $U_{2}$.
\end{itemize}
On note A$_{n}$ l'événement \og le tirage a lieu dans l'urne $U_{1}$ 
à l'étape $n$ \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité. On a donc $p_{1} 
=1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{2}$.
\item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 
0,8 p_{n} + 0,05$.

On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
\item  Calculer $p_{3}$.
\item\begin{enumerate}
\item  Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ entier 
naturel non nul, $p_{n} > 0,25$.
\item  Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est 
décroissante.
\item  En Déduire que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente 
vers un réel noté $\ell$.
\item  On admet que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell 
+ 0,05$.

En déduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Métropole septembre 2014
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: 

\[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: 	\text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
\index{équation de plan} 
\item On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\ 
y&=&0\\ 	
z&=&t\sqrt{2}
\end{array}\right.,\: t \in \mathbb{R}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O. 
		\item Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note L le milieu du segment [AC].
		 
Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC). 
		\item Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
	\end{enumerate}  
\item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
\end{enumerate}



\subsection{}%La Réunion juin 2008
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
\[u_{0} = 5\quad  \text{et, pour tout entier}~~ n \geqslant 1,~ u_{n} = \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)u_{n-1} + \dfrac{6}{n}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u_{1}$.
		\item  Les valeurs de $u_{2},~ u_{3},~ u_{4},~ u_{5},{} u_{6},{} u_{7},{} u_{8},{} u_{9},{} u_{10},{} u_{11}$ sont respectivement égales à :
		
45,  77,  117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
A partir de ces données conjecturer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $d_{n} = u_{n+1} -  u_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite arithmétique $\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $8$ et de premier terme $v_{0} =  16$.

Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est égale à 

$4n^2 +  12n$.

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :

 $ u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.

\item Valider la conjecture émise à la question \textbf{1. b.}.
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2008
Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. 

\medskip

 \textbf{PARTIE A :}

  \bigskip
  
On définit :
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  

En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : }
 
  \bigskip
  
Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

 Justifier dans chaque cas. 
 
\begin{itemize}

  \bigskip
  
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 

  \bigskip
  
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}


%\subsection{}%\textcolor{blue}{Polynésie ES septembre ES}
%\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%On réalise une expérience aléatoire. $A$ désigne un événement et $\overline{A}$ son événement contraire.

% On pose $p(A) = x$. 
%\begin{enumerate}
%\item  Exprimer $p\left(\overline{A}\right)$ en fonction de $x$. 
%\item  Déterminer les valeurs possibles de $x$ sachant que : $p(A) \times  p\left(\overline{A}\right) = 0,24$.
%\end{enumerate}
% 
%\textbf{Partie B}

%\medskip
% 
%La \og  Revue Spéciale d'économie \fg{} et le \og Guide des Placements en Bourse \fg{} sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs. 

%On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
% 
%Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.
% 
%Une étude a permis de constater que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 60\:\% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la \og{}Revue Spéciale d'économie\fg{}, et parmi eux $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au \og{} Guide des Placements en Bourse \fg{} ; 
%\item 10\:\% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la \og{} Revue Spéciale d'économie \fg{}, ont souscrit l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note :
% 
%$A$ l'événement : \og le lecteur a choisi l'abonnement à la \og{}Revue Spéciale d'économie\fg{} ;
% 
%$B$ l'événement : \og le lecteur a choisi l'abonnement au \og{}Guide des Placements en Bourse\fg{}  \fg.

%\medskip
% 
%On interroge un lecteur au hasard.
% 
%\begin{enumerate}
%\item Déduire de l'énoncé les probabilités $p(A),\:p\left(\overline{A}\right)$ et $p_{\overline{A}}(B)$.
% 
%Reproduire et compléter l'arbre suivant : 

%\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$A$}}
%	{\TR{$B$}
%	\TR{$\overline{B}$}
%	}
%\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
%	{\TR{$B$}
%	\TR{$\overline{B}$}
%	}
%}
%\end{center}

%\medskip

%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Traduire par une phrase l'événement $A \cap B$. Donner sa probabilité.
%		\item Traduire par une phrase l'événement $\overline{A} \cap \overline{B}$. Donner sa probabilité.
%	\end{enumerate}
%\item Calculer $p(B)$. En Déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la \og Revue Spéciale d'économie \fg{} sachant qu'il est abonné au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
%\item On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
% 
%\end{enumerate} 

%\subsection{Nouvelle-Calédonie mars 2008}
%On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~ 6[$ par 
%\[f(x) = \dfrac{9}{6 - x}\]
%On définit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(U_{n}\right)$ par
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%U_{0}&=&-3\\
%U_{n+1}&=&f\left(U_{n}\right)\\
%\end{array}\right.\]

%\begin{enumerate}
%\item  La courbe représentative de la fonction $f$  est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droite d'équation $y = x$. Construire, sur cette feuille annexe les points $M_{0}\left(U_{0}~;~ 0\right),~
%M_{1}\left(U_{1}~;~ 0\right),~ M_{2}\left(U_{2}~;~ 0\right),~ M_{3}\left(U_{3}~;~ 0\right)$ et $M_{4}\left(U_{4}~;~ 0\right)$.

% Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite $\left(U_{n}\right)$ ?
%\item  
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que si $x < 3$ a alors 	$\dfrac{9}{6 - x}< 3$.
%		
%	En déduire que $U_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.
%		\item  …tudier le sens de variation de la suite $\left(U_{n}\right)$.
%		\item  Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?
%	\end{enumerate}
%\item  On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par $V_{n} = \dfrac{1}{U_{n} - 3}$ 	pour tout entier naturel $n$.
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison  $- \dfrac{1}{3}$.
%		\item  Déterminer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item  Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$.
% 	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  