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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Avec un changement de variable}}

Soit la fonction  $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par :
\begin{center}$f(x)=\dfrac{2}{x-1} \mathrm{e}^{\tfrac{x+1}{x-1}}$.\end{center}
\begin{enumerate}
\item On pose $X=\dfrac{2}{x-1}$. Montrer que $f(x)=\mathrm{e} X\mathrm{e}^X$.
\item En déduire $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)$ ~~et~~
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Les questions sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n\geqslant1$ par :
\[u_n=1+\mathrm{e}^{\tfrac1n}+\mathrm{e}^{\tfrac2n}+\cdots+\mathrm{e}^{\tfrac{n-1}{n}}.\]
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=\dfrac14\mathrm{e}^{-\tfrac x2}\left(x^2+x\right)\]
Déterminer les limites en $-\infty$ de la fonction $f$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
\[g(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^x-1}.\]
La limite de $g$ en 0 est-elle finie ?
 \item Étudier les asymptotes à la courbe représentative de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par :
 \[h(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{-x}+1}{x+1}.\]
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $(u_n)_{n\geqslant1}$ la suite définie par :
\begin{center} $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.\end{center}
Le but est de trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 5$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Dans l'algorithme suivant, \texttt{u} et \texttt{n} sont des nombres.\par
Le compléter pour qu'il affiche $u_{20}$.
\vspace{2mm}\begin{center}

\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}[1.]
\item u PREND LA VALEUR 1

\item POUR n ALLANT DE \dots \hspace{1cm}À \dots

\item u PREND LA VALEUR u + \dots

\item Fin POUR

\item AFFICHER u

\end{enumerate}
\end{minipage}}
\end{center}\vspace{2mm}
\item Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.\par
En déduire les variations de la suite $(u_n)$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x)=\mathrm{e}^x-x-1.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\par
\item En déduire que, pour $n\geqslant1$, $\mathrm{e}^{\tfrac1n}\geqslant\dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}
\item Montrer que, pour $n\geqslant1$, on  a $\mathrm{e}^{u_n}\geqslant n+1$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche la valeur de $n$  répondant à l'objectif.
\vspace{2mm}\begin{center}


\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}[1.]
\item u PREND LA VALEUR 1

\item n PREND LA VALEUR 1

\item TANT QUE  u\dots\dots FAIRE

\item     n PREND LA VALEUR n + 1

\item     u PREND LA VALEUR u + \dots

\item Fin TANT QUE

\item AFFICHER n
\end{enumerate}

\end{minipage}}\end{center}\vspace{2mm}
\end{enumerate}




\subsection{}%Liban mai 2015
On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.\index{fonction exponentielle}

\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$.

Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de
points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}




\subsection{}%D'après Bac (Centres Étrangers - 2010)
  Soit deux courbes $\mathscr{C}_{1}$ et $\mathscr{C}_{2}$ d'équations
  respectives $y = \mathrm{e}^x$ et $y = -x^2 - 1$ dans un repère orthogonal.
\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psgrid[xunit=.8cm,yunit=.4cm,subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridlabels=0pt](-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psplot[linewidth=.8pt,plotpoints=10000]{-5}{2}{2.71828 x exp}
\psplot[linewidth=.8pt,plotpoints=10000]{-2}{2}{x dup mul 1 add neg}
\end{pspicture*}
\end{center}
Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente $\left(\mathcal{T}\right)$ commune à ces deux courbes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement l'abscisse du point de contact de cette
  tangente avec $\mathscr{C}_{1}$, puis avec $\mathscr{C}_{2}$.
\item Soit $a$ et $b$ deux réels, $A$ le point d'abscisse $a$ de
  $\mathscr{C}_{1}$ et $B$ le point d'abscisse $b$ de
  $\mathscr{C}_{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de :
\begin{itemize}
\item la tangente $\left(\mathcal{T}_{A}\right)$ à $\mathscr{C}_{1}$
  au point $A$.
\item la tangente $\left(\mathcal{T}_{B}\right)$ à $\mathscr{C}_{2}$
  au point $B$.
\end{itemize}
\item En déduire que $\left(\mathcal{T}_{A}\right)$ et
  $\left(\mathcal{T}_{B}\right)$ sont confondues si, et seulement si,
  $a$ et $b$ sont solutions du système :
\begin{center}(S)\quad $\left\{\begin{array}{l c l}
\mathrm{e}^a& =& - 2b \\
\mathrm{e}^a - a\mathrm{e}^a &=& b^2 - 1
\end{array}\right.$.\end{center}
		\item  Montrer que le système (S) équivaut au système :	
\begin{center}(S')\quad $\left\{\begin{array}{l c l}
\mathrm{e}^a& =& - 2b \\
\mathrm{e}^{2a} + 4(a\mathrm{e}^a - \mathrm{e}^a - 1) & =& 0
\end{array}\right.$.\end{center}
	\end{enumerate}
      \item Le but de cette question est de prouver qu'il existe un
        unique réel solution de l'équation :
        \begin{center}
          (E)\quad
          $\mathrm{e}^{2x} + 4(x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x - 1) =
          0$.
        \end{center}\vspace{-2mm}
        \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à \\
        $]- \infty~;~0[$
          :
          \begin{center} 
            $\mathrm{e}^{2x} - 4 < 0$ ~et~ $4\mathrm{e}^x(x - 1) < 0$.
          \end{center}
        \item En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution dans
          l'intervalle $]- \infty~;~0[$.
        \item Montrer que $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
          :
          \[f(x)=\mathrm{e}^{2x} + 4\left(x\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} - 1\right)\]
          est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
        \item Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique
          $a$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.\par
          Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de
          $a$.\vspace{-2mm}
	\end{enumerate}
      \item On prend pour $A$ le point d'abscisse $a$.\par
        Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$
        pour lequel $\left(\mathcal{T}_{A}\right)$ et
        $\left(\mathcal{T}_{B}\right)$ sont confondues.
      \end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Fonction limite d'une suite de fonctions}}
 Pour tout entier $n\geqslant l$ , on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^n}.\]
On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$.· 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, pour $n\geqslant 1$, les variations de $f_n$. 

\item Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_n$ passent toutes par deux points fixes (indépendants de $n$) que l'on déterminera. 

\item Soient deux entiers $n$ et $m$ non nuls avec $n < m$.\\
Comparer $f_n(x)$ et $f_m(x)$ selon les valeurs de $x$.\\
En déduire les positions relatives de $\mathscr{C}_n$ et $\mathscr{C}_m$.
\end{enumerate}

\item On a représenté ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_1$ , $\mathscr{C}_2$ , $\mathscr{C}_3$ , $\mathscr{C}_{10}$  et $\mathscr{C}_{60}$ .
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=7.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.2)(4,1.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.3,-0.2)(4,1.2)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0.0}{4.0}{1/(1+x^2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{0.0}{4.0}{1/(1+x^3)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x^10)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{4.0}{1/(1+x^60)}

\uput[r](2,0.35){$\mathscr{C}_1$}
\uput[r](2,0.22){$\mathscr{C}_2$}
\uput[r](2,0.13){$\mathscr{C}_3$}
\uput[r](0.8,0.83){$\mathscr{C}_{10}$}
\uput[r](0.85,1){$\mathscr{C}_{60}$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, selon la valeur du réel $x \geqslant 0$, la limite de $f_n(x)$ lorsque que $n$ tend vers $+\infty$. 

\item Démontrer la conjecture émise à la question précédente. 


\item Pour tout réel $x \geqslant  0$, on note $f(x) = \lim_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)$.\\
On définit ainsi une fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\\
Expliciter la fonction f . 

\item La fonction $f$ est-elle continue sur $[0~;~+\infty[$ ? 

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}    


\label{fin}
\end{document}  