\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

\bigskip
\emph{  On ne peut plus expliquer le monde, faire ressentir sa beauté à ceux qui n'ont aucune connaissance profonde des mathématiques. (Richard Feynman)}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Amérique du Nord mai 2004
\textit{Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une 
fléchette dans une cible ayant la forme suivante} :

 {\scriptsize \begin{center} \begin{tabular}{|*{15}{c|}}\hline
    
    B&B&B&B&B&B&B&B&B&J&J&J&V&V&R\\ \hline
    R&V&V&J&J&J&B&B&B&B&B&B&B&B&B\\ 
    \hline
    \end{tabular} \end{center}}
    \normalsize
\noindent \textit{La fléchette atteint toujours une case et une seule.}

\noindent \textit{Les trente cases, blanches} (B), \textit{jaunes} (J), \textit{vertes} 
(V) \textit{ou rouges} (R), \textit{ont toutes la m\^eme probabilité d'\^etre 
atteintes.}

Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.

Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.

Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros,  la lettre $a$
désigne un nombre réel positif.

\begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur 
(compté négativement quand il perd).

\begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que l'espérance
 E($X$) soit nulle.
 
\end{enumerate}
 
\item Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement 
positif.

\begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p$ qu'un joueur gagne ?

\item Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. 

Quelle est la probabilité \begin{itemize}
\item qu'il gagne exactement 2 fois ?

\item exactement 5 fois ?
\end{itemize}


\item Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en
 \textbf{2. b.} ?
 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère une suite arithmético-géométrique $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ où $a$ et $b$ sont des réels non nuls et $a\neq 1$.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction $x\mapsto ax+b$. Déterminer son point fixe, c'est-à-dire la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=x$.

\item Puisque $\alpha$ est le point fixe de $f$, on a : $\alpha=a\alpha+b$.

On définit alors une suite auxiliaire $\left(v_n\right)$ par \[v_n=u_n-\alpha\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}.\]

Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. On précisera son premier terme en fonction de $u_0$.

\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Application : soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n-7\end{cases}$.

Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Cette suite est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Hachette Barbazo \no 70 page 24
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. On poura en donner des valeurs approchées au centième près.

\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant n+3$.

\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right).\]
En déduire une validation de la conjecture.

\end{enumerate}

\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par : $v_n=u_n-n$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.

\item En déduire une expression de $v_n$en fonction de $n$ puis montrer que $u_n=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+n$.

\item En déduire la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^4+4x+1.\]
Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $\mathbb{R}$ et déterminer une encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de ces solutions.

\subsection{}%Métropole juin 2015
Dans un repère orthonormé (O,~I,~J,~K) d'unité 1 cm, on considère les points A$(0~;~-1~;~5)$,

B$(2~;~-1~;~5)$, C$(11~;~0~;~1)$, D$(11~;~4~;~4)$.\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

Un point $M$ se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1~cm par seconde.

Un point $N$ se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1~cm par seconde.

À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en A et le point $N$ est en C.

On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t~;~-1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)$.

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
		\item La droite (CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
		
Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$.\index{équation de plan}
		\item Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point E$(11~;~-1~;~5)$.
		\item Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$.
		\item À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Barbazo \no 62 page 112

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=x^3-3x-3.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation.

\item Calculer $g(3)$.

\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

\item À l'aide de la calculatrice, donner une encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-3}$.

\item En déduire le tableau de signes de $g(x)$.
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1~;~1\}$ par : \[f(x)=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}.\]

Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus{-1~;~1}$ : \[f'(x)=\dfrac{2xg(x)}{\left(x^2-1\right)^2}.\]

\item Étudier soigneusement les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item Dresser le tableau de variation de $g$ (on pensera à vérifier la cohérence des limites avec le tableau de variation).

\item On a tracé ci-après la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$.

Démontrer que la point $A$ d'abscisse $\alpha$ a pour ordonnée $f(\alpha)=\dfrac{3(2\alpha+3)}{\alpha^2-1}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-6.)(4.,12.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4.,-6.)(4.,12.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-4.,-6.)(4.,12.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{(2.0*x^(3.0)+3.0)/(x^(2.0)-1.0)}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1.,-2.)(-1.,12.)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1.,-2.)(1.,12.)
\psdots[dotsize=0.5,dotstyle=x](2.1038,6.311410208227941)
\rput[bl](2.2367780894214646,6.555704485421459){\darkgray{$A$}}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](3,7){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  