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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Fonction d'Ackermann}}%\no 28 page 35 math'x Didier TS
Cette fonction $A$ est une fonction de deux entiers naturels, définie ainsi :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A(0~;~n)=n+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

\item $A(m+1~;~0)=A(m~;~1)$ pour tout $m\in\mathbb{N}$

\item $A(m+1~;~n+1)=A(m~;~A(m+1~;~n))$ pour tous $m\in\mathbb{N}$ et $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $A(0~;~0)$, $A(0~;~1)$ et $A(1~;~0)$.

\item Calculer $A(m~;~n)$ pour $m\leqslant 3$ et $n\leqslant 5$.

On présentera les résultats dans un tableau.

\item Émettre des conjectures sur les expression de $A(1~;~n)$ et de $A(2~;~n)$ en fonction de $n$ et les démontrer.

\item Démontrer que $A(3~;~n)=2^{n+3}-3$ pour tout $n\geqslant 0$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Spirales}}
$ABCD$ est un carré de centre $O$ dont les diagonales ont pour longueur 2.

On construit les deux spirales suivantes dont les sommets appartiennent aux diagonales du carré.

\textbf{Spirale géométrique} : les distances de $O$ aux sommets successifs $A_0=A$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, etc. valent $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, etc.

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.8)(1.,0.8)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-2.)(2.,2.)
\pspolygon(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){3.}
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){1.5}
%\pscircle(0.,0.){0.75}
%\pscircle(0.,0.){0.375}
\psline(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){0.1875}
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\psline(0.1767766952966369,0.1767766952966369)(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\psline(0.1767766952966369,0.1767766952966369)(-0.08838834764831845,0.08838834764831845)
\psline(-0.044194173824159216,-0.044194173824159216)(-0.08838834764831845,0.08838834764831845)

\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.014272992067939921,0.03624948237926378){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-0.5004121172929881,0.7780015517523654){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.6934190333033361,-0.6676580936584755){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](0.7219650174392159,-0.6676580936584755){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](0.7219650174392159,0.7439415077505392){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.6934190333033361,0.7439415077505392){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.35355339059327373,-0.35355339059327373)\rput[bl](0.3700112294203461,-0.3308421029737508){\darkgray{$A_1$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.3535533905932738,0.3535533905932738)
%%\rput[bl](-0.33768079595093,0.3768499223975247){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.17677669529663687,-0.17677669529663687)
%\rput[bl](-0.15981167727472692,-0.15297298429754785){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.1767766952966369,0.1767766952966369)
\rput[bl](0.192142110744143,0.19898080372132176){\darkgray{$A_2$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.08838834764831843,-0.08838834764831843)
%\rput[bl](0.10509977607280957,-0.0659306496262145){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.08838834764831845,0.08838834764831845)\rput[bl](-0.1727693426033935,0.21193846904998843){\darkgray{$A_3$}}
%\rput[bl](-0.03492484926803114,-0.02051725762377971){$k$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.044194173824159216,-0.044194173824159216)
\rput[bl](-0.04959669857116856,-0.19189198113279){\darkgray{$A_4$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.04419417382415922,0.04419417382415922)
%\rput[bl](0.05968638407037475,0.06652507704755364){\darkgray{$H$}}
%\rput[bl](-0.15981167727472692,-0.5844002083206784){$j$}
%\rput[bl](0.20727990807828794,-0.10377514296157683){$l$}
%\rput[bl](0.021841890735012394,0.19141190505424932){$m$}
%\rput[bl](-0.012218153266813728,0.043818381046336244){$n$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Spirale harmonique}} : Les distances de $O$ aux sommets  $B_0=A$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, etc sont $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{5}$, etc.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.8)(1.,0.8)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pspolygon(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){3.}
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){1.5}
%\pscircle(0.,0.){1.}
%\pscircle(0.,0.){0.6}
\psline(0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
%\pscircle(0.,0.){0.6}
\psline(-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\psline(-0.1414213562373095,-0.1414213562373095)(-0.14142135623730953,0.14142135623730953)

\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.010429287923725515,0.028159991856997902){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-0.5025200512144602,0.7948555466326889){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.6934190333033361,-0.8){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,-0.7071067811865476)
\rput[bl](0.7143704022729378,-0.8){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](0.717098856204524,0.6584328500533844){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.7071067811865476,0.7071067811865476)
\rput[bl](-0.7235248196729338,0.6366052186006956){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.35355339059327373,-0.35355339059327373)
\rput[bl](0.37604211475626215,-0.34836665070188233){\darkgray{$B_1$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.3535533905932738,0.3535533905932738)
%\rput[bl](-0.34154126925088063,0.369216733305259){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.1414213562373095,-0.1414213562373095)
%\rput[bl](0.15230889236620243,-0.12463342831182307){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.14142135623730953,0.14142135623730953)
\rput[bl](-0.13690722438192357,0.18368186595740496){\darkgray{$B_3$}}
%\rput[bl](-0.10143732327130435,0.11547051766775274){$k$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.1414213562373095,-0.1414213562373095)
\rput[bl](-0.14782104010826796,-0.1873878687383031){\darkgray{$B_4$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.14142135623730953,0.14142135623730953)
%\rput[bl](0.15230889236620243,0.15912578057313015){\darkgray{$H$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.23570226039551584,-0.23570226039551584)
%\rput[bl](-0.2242177501926786,-0.22012931591733617){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.2357022603955158,0.2357022603955158)
\rput[bl](0.2478047799717157,0.2518932142470572){\darkgray{$B_2$}}
\psline(0.35355339059327373,-0.35355339059327373)(0.2357022603955158,0.2357022603955158)
\psline(0.2357022603955158,0.2357022603955158)(-0.14142135623730953,0.14142135623730953)
\psline(-0.14142135623730953,0.14142135623730953)(-0.1414213562373095,-0.1414213562373095)
\end{pspicture*}
\end{center}
On note $L_n$ la longueur de la spirale $A_0A_1A_2\cdots A_n$ et $L'_n$ la longueur de la spirale $B_0B_1B_2\cdots B_n$  pour tout $n\geqslant 1$.
\begin{enumerate}
\item Spirale géométrique : 

Exprimer $OA_n$ puis $A_nA_ {n+1}$ en fonction de $n$. En déduire $L_n$  en fonction de $n$ puis la limite de $\left(L_n\right)$.

\item \textcolor{red}{\textbf{Spirale harmonique}} :

Exprimer $OB_n$ en fonction de $n$ puis $B_nB_{n+1}$ en fonction de $n$. Conjecturer le comportement asymptotique de $L'_n$ (le comportement quand $n$ tend vers $+\infty$).

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $B_nB_{n+1}\geqslant \dfrac{1}{n+1}$.``

En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$, $L'_n\geqslant h_n$ où $h_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.

\item Exprimer $h_{2n}-h_n$. Quel est le plus petit terme de cette somme ?

En déduire que $h_{2n}-h_n\geqslant \dfrac{1}{2}$.

\item En déduire que $h_{2^n}-h_n\geqslant \dfrac{1}{2}(n-1)$.

\item Montrer que la suite $\left(h_n\right)$ n'est pas majorée. En déduire sa limite et celle de $\left(L'_n\right)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}

%\subsection{}%Métropole septembre 2014
%On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
% 
%Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
%		\index{suite} 
%		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
%	\end{enumerate} 
%\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
% 
%Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
% 
%Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
% 
%L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. 
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%Variables :		&$n$ est un entier naturel.\\
%				&$v$ est un nombre réel.\\ 
%Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
%Traitement :	& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\ 
%				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
%					Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
%					Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
%					Afficher $v$.\\
%						\end{tabular}\\  
%				&Fin de boucle.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center} 
%\index{algorithme} 
%	\begin{enumerate}
%		\item Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
%		
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
%$v_{n}$ &10 
%&8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
% 
%		\item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
%		\item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.
%		 
%Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
%	\end{enumerate} 
%\item On programme la machine de façon que :
%
%\begin{itemize}
%\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, 
%\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
%\end{itemize}
% 
%On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
% 
%Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. 
%		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. 
%
%Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
%		\item En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?
%		\index{suite}
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate} 

\subsection{}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte}.\\ 
Justifier chaque réponse.

\medskip
 
L'espace est rapporté à  un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. 

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1~;~-1~;~2)$, B$(3~;~3~;~8)$, C$(-3~;~5~;~4)$ et D(1~;~2~;~3). 
 
On note $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y &=& 2t - 1\\   
z &=& 3t+2
\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$ 
 
et $\mathcal{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& k + 1\\
y &=& k + 3\\
z &=&-k + 4
\end{array}\right.,  k \in \mathbb{R}$.
  
On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$. 

\medskip

\textbf{Question 1 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 

Proposition \textbf{b.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.
 
Proposition \textbf{c.~} Le point C appartient à  la droite $\mathcal{D}$.

Proposition \textbf{d.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales. 

\medskip

\textbf{Question 2 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est parallèle à  la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{b.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}'$ et est parallèle à  la droite $\mathcal{D}$.
 
Proposition \textbf{c.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est orthogonal à  la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{d.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.

\medskip

\textbf{Question 3 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les points A, D et C sont alignés.
 
Proposition \textbf{b.~} Le triangle ABC est rectangle en A.
 
Proposition \textbf{c.~} Le triangle ABC est équilatéral.
 
Proposition \textbf{d.~} Le point D est le milieu du segment [AB]. 
 

\medskip

\textbf{Question 4 :}
 
On note $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à  ce plan est :
 
Proposition \textbf{a.~} $\overrightarrow{n}(-1~;~5~;~4)$
 
Proposition \textbf{b.~} $\overrightarrow{n}(3~;~-1~;~2)$
 
Proposition \textbf{c.~} $\overrightarrow{n}(1~;~2~;~3)$
 
Proposition \textbf{d.~} $\overrightarrow{n}(1~;~1~;~-1)$

\subsection{}%Antille-Guyane septembre 2011
L'espace est muni d'un repère orthonormé  $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$
.
 
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : 

A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \mathbb{R}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  