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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : \[\dfrac{2x+5}{3x+5}\geqslant \dfrac{x-1}{5x-1}\]


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x+1+\dfrac{4}{x^2}\].
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme de fraction rationnelle.

\item Vérifier que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

\item En déduire la factorisation de $f'(x)$.

\item En déduire les variations de $f$.

\item On note $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x+1$. 

En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, trouver la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$.

\item Construire la droite $\mathscr{D}$ et la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par : \[g(x)=x^3+6x^2+1.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variaions de $g$ sur son ensemble de définition.

\item En déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}\].
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$.

\item En déduire les variations de $f$ ; dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=6$, $u_1=1$ et la relation de récurrence $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item On cherche deux réels $\alpha$ et $\beta$ distincts tels que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies par 

$v_n=u_{n+1}-\alpha u_n$ et $w_n=u_{n+1}-\beta u_n$ soient des suites géométriques de raisons respectives $\beta$ et $\alpha$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $x^2=5x-6$.

\item En déduire les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (on prendra $\alpha<\beta$).
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v_n=-11\times 3^n$ pour tout entier naturel $n$.

\item Déterminer l'expression du terme général $w_n$.

\end{enumerate}

\item En déduire l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$.

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Tours de Hanoï}}
C'est un jeu de réflexion imaginé par le mathématicien français Édouard Lucas, et consistant à déplacer des disques de diamètres différents d'une tour de \og{}départ\fg{} à une tour d'\og{}arrivée\fg{} en passant par une tour \og{}intermédiaire\fg{}, et ceci en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :

   \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  on ne peut déplacer plus d'un disque à la fois ;

\item on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement vide.

\item On suppose que cette dernière règle est également respectée dans la configuration de départ.
\end{enumerate}

On note $D_n$ le nombre minimal de déplacements nécessaires pour transporter une tour de $n$ étages ($n\geqslant 1$).

\begin{enumerate}
\item Montrer que $D_1=1$, $D_2=3$, $D_3=7$.

\item Montrer que $D_4=15$.

\item Exprimer une relation entre $D_{n+1}$ et $D_n$.

\item Conjecturer une expression de $D_n$ en fonction de $n$.

\item Démontrer cette relation par récurrence.

\item En admettant que l'on effectue un déplacement par seconde, combien de temps faudra-t-il de temps pour reconstituer une tour de 80 étages ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=\frac12\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+2}\end{array}\right..\]

\bigskip

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0<u_n<1$.

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  