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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices de bac}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015 (6 points)}}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : 

pour tout entier naturel $n$,\quad  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
		\item En déduire la valeur exacte de $u_1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme
de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
&$u$ est un réel\\
Entrée :& Saisir $n$\\
Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
Traitement :& Pour $i$ variant de 1 à \ldots\\
&\hspace{0.4cm}$|$Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
&Fin de Pour\\
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$n$	 & 0 		&1 			&2 			&3 			&4 			&5 			&10 		&50 	 &100\\ \hline
$u_n$&\numprint{0,6931}&\numprint{0,3069}&\numprint{0,1931}&\numprint{0,1402}&\numprint{0,1098}&\numprint{0,0902}&\numprint{0,0475}&\numprint{0,0099} &\numprint{0,0050}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item  On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015 (3 points)}}

\medskip

On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$.

Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de
points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}

\emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Les probabilités seront arrondies au dix millième.}
\smallskip

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\numprint{99,4}\,\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement 
\og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre de probabilités.\index{probabilités}\index{arbre}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $\numprint{0,0192}$
\item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : le vélo}

\medskip

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.

Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = \numprint{1,2}$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
\item Il part de son domicile à vélo à 7~h~40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
\item L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $\numprint{0,9}$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : le bus}

\medskip

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale}

On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\numprint{0,05}$.

On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
\item Déterminer une valeur approchée à $\numprint{0,01}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014}}
On considère un cube ABCDEFCH.

\bigskip

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8.5) 
\psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE
\psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF
\psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](6.3,0.3){B} \uput[r](8,2.8){C} 
\uput[ur](2,2.8){D} \uput[ul](0.3,6.3){E} \uput[ul](6.3,6.3){F} 
\uput[ur](8,8.8){G} \uput[ul](2,8.8){H} \uput[ul](1.15,7.55){M} 
\uput[dr](7.15,4.55){N} \uput[u](3.5,8.8){P} 
\end{pspicture}
\end{center}
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que 

$\overrightarrow{\text{HP}}  = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{\text{HG}}$. 

\medskip
 
\textbf{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)}\index{section plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
 
Construire le point L 
\item On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection.
 
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF).
	\end{enumerate} 
\item En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère. 
\item Déterminer les coordonnées du point L. 
\item On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$.
 
Le triangle TPN est-il rectangle en T ? 
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{multicols}



\end{document}  