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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \arabic{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{landscape}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{DM faculatatif à faire pour le 2 mai}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Amérique du Nord juin 2015
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ de la façon suivante: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_0 &=&- 3\\ 
y_0 &=&\phantom{-}4
\end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\
y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$. 
		\item Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|X|}\hline
Variables : \\
$i, x, y,  t$ : nombres réels\\ 
\\
Initialisation :\\ 
$x$ prend la valeur  $- 3$\\
$y$ prend la valeur 4 \\
\\
Traitement :\\ 
Pour $i$ allant de 0 à 20\\ 
\hspace{1cm}Construire le point de coordonnées $(x~;~y)$\\
 \hspace{1cm}$t$ prend la valeur $x$\\ 
\hspace{1cm}$x$ prend la valeur \ldots . \\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur  \ldots. \\
Fin Pour \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$. 
		\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant: 

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-6)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6)
%\multido{\n=0+1}{20}{\psdots(5;36.8 \n mul)}
%\psgrid[subgriddiv=2](-7,-6)(8,6)
\psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53)
%(5;107.4)(5;144.27)
\end{pspicture}
\end{center}       

 Identifier les points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.. On les nommera sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}. 

Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ? 
	\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel. 

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? 
		\item On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$. 

Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$. 
		\item Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$.
		
 Représenter $\theta$  sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie).} 

Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Asie juin 2015
Le plan est muni du repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{complexes}

Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un
lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.

\bigskip

\textbf{Partie A : propriétés du nombre j}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation 
		
		\[z^2 + z + 1 = 0.\]\index{complexes}
		
		\item Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme
exponentielle.
\item Démontrer les égalités suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item j$^3 = 1$ ;
		\item j$^2 = - 1 - \text{j}$.
	\end{enumerate}
\item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan.
	
Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$.

On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$.
\item En déduire que AC = BC .
\item Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$.
\item En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
\end{enumerate}

\subsection{}%Centres étrangers juin 2015
\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{1.} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$
l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions :
\[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad  \text{et} \quad  |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\]

Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le 
point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$.

Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5)
\psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\pscircle(3,2){2}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[r](1.177,1.177){\scriptsize A}\uput[d](3.823,3.823){\scriptsize B}
\psdots(3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823)
\end{pspicture*}}

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} l'ensemble $S$ est le segment [AB].\index{complexes}

\textbf{2.}  \textbf{Affirmation 2 :} le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\numprint{1515}}$ est un réel.

\medskip

\emph{Pour les questions 3 et 4, on considère les points} E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) \emph{et} G (-1 ; 3 ; 1) \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.}

\textbf{3.}  \textbf{Affirmation 3 :} une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par :\index{équation paramétrique de droite}
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2t\\
y&=&-3 + 4t\\
z&=&7-10t
\end{array}\right., t\: \in \mathbb{R}.\]

\textbf{4.}  \textbf{Affirmation 4 :} une mesure en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{FEG}}$, arrondie au degré, est 50\degres.

\subsection{}%Antilles-Guyase septembre 2015
\emph{Les trois questions sont indépendantes.}

\smallskip

\emph{Toute réponse doit être justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par\index{suite}

\[u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } \:n,\quad  \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1.\]

La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique  ?\index{suite géométrique}
\item Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs.

On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$.

La proposition $(\mathcal{P})$ suivante est-elle vraie ou fausse ?

\[(\mathcal{P}) :  \text{si la suite }\:\left(v_{n}\right)\: \text{est majorée alors la suite }\:\left(w_{n}\right)\: \text{est majorée.}\]

\item La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par 

\[z_0 = 2 + 3\text{i}\: \text{et,\:\: pour tout entier naturel }\:n \:\:\text{par}\: z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.\]

Pour quelles valeurs de $n$,\: $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?\end{enumerate}


\subsection{}%Polynésie juin 2015
Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le
schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.

Voici ce schéma :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,5.5)
\psline(1,3.679)(1,0)(8,0)
\psline(1,3.679)(1.5,4.879)
\psline(8,0)(8.5,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
\def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}}
\rput(0.5,1.2){\courbe}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\courbe
\psline(8,0)(1,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A Modélisation}

\medskip

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad  \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\]\index{fonction exponentielle}

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5)
\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale.

Déterminer la valeur de l'entier $b$.
\item  On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. 

Déterminer la valeur de l'entier $a$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs}
 
\medskip

On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel
$x \in  [1~;~8]$ par
 
\[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\]

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée
sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de
300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par 

\[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\]

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.
\item  Quel est le montant du devis de l'artiste ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C Une contrainte à vérifier}
 
\medskip

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(8.5,5.5)
\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=5]{0.5}{2}{5.412 1.353 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=3]{4}{5}{5.412 1.353 x mul sub}
\psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1)
\psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$}
\psline(2,0)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9)
\uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$}
\end{pspicture}

\end{center}

Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que,
pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$.

Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8].
\item  Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.
\item  Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Métropole juin 2015
Dans un repère orthonormé (O,~I,~J,~K) d'unité 1 cm, on considère les points A$(0~;~-1~;~5)$,

B$(2~;~-1~;~5)$, C$(11~;~0~;~1)$, D$(11~;~4~;~4)$.\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

Un point $M$ se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1~cm par seconde.

Un point $N$ se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1~cm par seconde.

À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en A et le point $N$ est en C.

On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t~;~-1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)$.

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
		\item La droite (CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
		
Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$.\index{équation de plan}
		\item Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point E$(11~;~-1~;~5)$.
		\item Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$.
		\item À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Polynésie septembre 2015
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $\Re (z)$.\index{complexes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$.
\item Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$.
\item Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,\: 

$\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\: \cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :\index{fonction avec exponentielle}

\[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\]

On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$.

Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\:  \mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,\: g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer:
	\begin{enumerate}
		\item les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
		\item la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ;
		\item la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.\index{asymptote}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		
Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: 

$h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos  \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$.
		\item Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que,
sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right], \: \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par

\[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\]

est une primitive de la fonction $h$.\index{primitive}

On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C_f}$ et $\mathcal{C_g}$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.\index{aire et intégrale}
 
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2015
Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
\item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :\index{probabilités}

$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;

$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités}
\item Déterminer la valeur exacte de $x$.
\item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg.

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot.

On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un fournisseur assure que 90\,\% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2\,\% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$~bouteilles présentent moins de 2\,\% de pulpe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe au seuil de 95\,\%.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}
\item Que penser de l'affirmation du fournisseur ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie novembre 2015
Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par

\[f_a(x) = \text{e}^{x - a}  - 2x + \text{e}^{a}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.\index{fonction exponentielle}
\item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
\end{enumerate}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie novembre 2015
Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et 
$\left(P_2\right)$ suivantes :

\[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\]

\[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\]

\textbf{Partie A}

\medskip

L'implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ?

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le
repère orthonormé $\left(A~;~ \overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right)$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(2,0.5)(5.3,3.8)%BCGF
\psline(5.3,3.8)(4,4.8)(0.7,4.8)(2,3.8)%GHEF
\psline(0.7,4.8)(0.7,1.5)(2,0.5)%EAB
\psline[linestyle=dashed](0.7,1.5)(4,1.5)(5.3,0.5)%ADC
\psline[linestyle=dashed](4,1.5)(4,4.8)%DH
\uput[l](0.7,1.5){$A$} \uput[d](2,0.5){$B$} \uput[d](5.3,0.5){$C$} \uput[ur](4,1.5){$D$} 
\uput[u](0.7,4.8){$E$} \uput[u](2,3.8){$F$} \uput[ur](5.3,3.8){$G$} \uput[ur](4,4.8){$H$} 
\end{pspicture}
\end{center}\index{géométrie dans l'espace}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).\index{équation de plan}
		\item Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
		\item Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point
$K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Le triangle $BDE$ est-il équilatéral ?
\item Soit $M$ un point de l'espace.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
		\item En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant  AK^2$.
		\item Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{landscape}








\label{fin}
\end{document}  