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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur les suites}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2014}}
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ par \index{suite}

\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 2\\ 
\text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n.
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 
$u_{n}$&2&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
		\item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a 
		
		\[u_{n} \geqslant  \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\] 
 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant  0$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } \:$\left(u_{n}\right)$.
 
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times  0,5^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le  
premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. \index{suite géométrique}
		\item En déduire, que pour tout entier naturel $n$,
 
\[u_{n} = - 8 \times  \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times  0,5^n.\]
 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant  0,01$.
\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
\textbf{Initialisation :}& $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\  
\textbf{Traitement :}&Tant que ...\hfill (1)\\  
	&\hspace{0,5cm} $n$ prend la valeur ... 	\hfill(2)\\ 
	&\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur ... 	\hfill(3)\\ 
&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2014}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On considère les deux algorithmes suivants :\index{algorithme} 

\medskip

\hspace*{-1cm}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline
\textbf{Algorithme 1}&	&\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline
\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel\\  
&$u$ est un réel &	&$u$ est un réel \\
\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\
\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur $0$\\
 &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\
&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\
& Fin Pour&	&Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}
 
\medskip
 
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? 
\item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. 

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline
n &u_{n}\\ \hline 
0& 0  \\ \hline 
1& 2  \\ \hline  
2& 6  \\ \hline  
3& 12 \\ \hline  
4& 20 \\ \hline  
5& 30 \\ \hline  
6& 42 \\ \hline  
7& 56 \\ \hline  
8& 72 \\ \hline  
9& 90 \\ \hline  
10& 110\\ \hline  
11& 132\\ \hline  
12& 156\\ \hline
\end{array}$} \hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,170)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30)  (6,42)  (7,56)  (8,72)  (9,90)  (10,110)(11,132)(12,156)
\end{pspicture}}

\medskip 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		 
Démontrer cette conjecture. 
		\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. 
	\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  