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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : fonction exponentielle : exercices de bac (2)}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2015}}

Soit $a$ un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par :\index{suite}

\[u_0 = a\quad  \text{et,  pour tout}\: n\:  \text{de}\:\: \mathbb{N},\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\]

On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]\index{fonction exponentielle}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ :  $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$.
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.
		\item En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$.
		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}		
\item Dans cette question, on suppose que $a > 0$.
	
La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$,\:$u_n\geqslant a$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
		$u_n \geqslant a + n \times g(a)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $a = 0,02$.
	
L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$
désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.\index{algorithme}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline
&$u$ prend la valeur $0,02$\\
\textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\
&Saisir la valeur de $M$\\ \hline
\textbf{Traitement}&Tant que \ldots\\
&\ldots\\
&\ldots\\
&Fin tant que\\ \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2014}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente 
$\Delta$ dont on déterminera une équation. 
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$. 
		\item Justifier que, pour tout réel $x$, \[h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \dfrac{2}{x}\right).\] 

En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$. 
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
		 
Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\index{variations de fonctions} 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$. 
		\item En déduire que, pour tout réel $x,\:\: 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \geqslant x + 1$. 
		\item Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?
	\end{enumerate} 
\item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1\right)^2$. 
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate}\index{position relative de deux courbes} 
%\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.\index{intégrale et aire}
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2014}}
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0~;~1) et $(-1~;~3)$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,1){A}\uput[l](-1,3){B}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}\uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.5}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. 

On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, 

\[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

\index{fonction exponentielle} 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A. 
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). 
		\item Démontrer que pour tout réel $x$, 

\[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
 
		\item On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. 

Déterminer la valeur du réel $a$. 
	\end{enumerate} 
\item D'après la question précédente, pour tout réel $x$, 

\[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$. 
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$. 
		\item Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$.
		
Justifier que $c <   - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
	\end{enumerate} 
%\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par :
% 
%\[c \leqslant x \leqslant 0\quad  \text{et}\quad  0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
% 
%	\begin{enumerate}
%		\item Écrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale. 
%		\item On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. 
%
%Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.
%\index{intégrale et aire}
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  