\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la loi exponentielle}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie 2004}}
Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes
 identiques. La durée de vie en années d'un oscilloscope est une variable
 aléatoire notée $X$ qui suit la ´ loi de durée de vie sans vieillissement ª
 (ou encore loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.

\noindent Toutes les probabilités seront données à $10^{-3}$ près.

\noindent \textbf{1.} Sachant que $p(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$
près de $\lambda$ est $0,125$.

\noindent On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice.

\noindent \textbf{2.} Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une
 durée de vie inférieure à 6 mois.

\noindent \textbf{3.} Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la
 probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure dix ans ?

\noindent \textbf{4.} On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante
 de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de
 commander 15 oscilloscopes. 
 
 Quelle est la probabilité qu'au moins un 
oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

\noindent \textbf{5.} Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que
 la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans
 soit supérieure à 0,999 ?

\noindent \textbf{Rappel} :

\noindent \textit{Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0~;~ + \infty [$,
 dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement }:

\noindent pour $0 \leqslant a \leqslant  b,~ p([a~;~b]) = \displaystyle\int_a^b  
\lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$  et 

\noindent pour $c \geqslant  0,~ 
p([c~;~+ \infty[) = 1 -  \displaystyle\int_0^c \lambda \text{e}^{-\lambda t}
\:\text{d}t$.


\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2014}}
Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
 
On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
\index{loi exponentielle}
 
Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10~minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $\lambda$. 
		\item Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20~minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. 
		\item Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5~minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. 
	\end{enumerate}
\item Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70~places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$. 

On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
 
On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
\index{loi binomiale}
\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$. 
		
		\item Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.

\index{loi normale}		 
Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice. 
		\item On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Y \leqslant 70\}$.
		 
Le restaurant a reçu 81 réservations.
 
Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\setcounter{subsection}{0}


\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Correction}}

\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On a $P(X>10) = 0,286 = \mathrm{e}^{10\lambda}$, équation qui donne $\lambda = 0,12$5 au centième près.

Dans la suite de l'exercice, on prendra l = 0,125.

\item La probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois s'écrit $P(X\leqslant 0,5)$.

$P(X\leqslant 0,5) = 1 - \mathrm{e}^{-0,5×0,125} = 1 - \mathrm{e}^{-0,0625}\approx 0,061$

\item L'appareil a déjà fonctionné 8 années ;  la probabilité qu'il ait une durée de vie
supérieure à 10 ans est donnée par : 
$P_(X>8)(X>10)$ avec $P(X>8) = \mathrm{e}^{-8×0.125}$.

$P((X>10)\cap (X>8)) = P(X>10) = \mathrm{e}^{-10\times 0.12}$.

$P_(X>8)(X>10)=\dfrac{P(X>10)}{P(X>8)}=\mathrm{e}^{-2\times 0,125}:P(X>2)÷approx 0,779$.

\item On est en présence d'un schéma de Bernoulli. La durée de vie d'un oscilloscope
est indépendante de celle des autres appareils.

Le responsable à commandé 15 oscilloscopes. La probabilité qu'un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans est la probabilité d'un \og{}succès\fg{} et on sait qu'elle vaut $P(X>10) = 0,286$.

L'événement \og{}au moins un oscilloscope parmi les 15 a une durée de vie supérieure
à 10 ans\fg{} est l'événement contraire de \og{}tous les appareils ont une durée de vie
inférieure à 10 ans\fg{} de probabilité $(1 - 0,286)^{15} = 0,714^{15}$.

La probabilité qu'au moins un oscilloscope parmi les 15 ait une durée de vie
supérieure à 10 ans est donc $1 - 0,714^{15}\approx 0,779$.

\item On reprend la situation de la question précédente avec $n$ oscilloscopes et on
cherche $n$ tel que $1 - 0,714^n\geqslant  0, 999$ inéquation équivalente à $0,714n\leqslant 10^{-3}$ et qui donne $n\geqslant \dfrac{\ln\left(10^{-3}\right)}{\ln 0,714}\approx 20,5$.

L'établissement devrait acheter 21 oscilloscopes pour que la probabilité qu'au
moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999
\end{enumerate}

\subsection{}

Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.% On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
 
Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10~minutes.

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer la valeur de $\lambda$. 
Le temps moyen d'attente est de 10 minutes donc $E(X)=10$; or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda= \dfrac{1}{10} = 0,1$.

		\item% Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20~minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. 
La probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes est $P(10 \leqslant  X \leqslant  20)$.

Comme $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $0,1$ on sait que:
 
$P(10 \leqslant X \leqslant 20) = \int_{10}^{20} 0,1 \mathrm{e}^{-0,1t} \d t = \left [ -\mathrm{e}^{-0,1t} \right ]_{10}^{20} = -\mathrm{e}^{-2} + \mathrm{e}^{-1}\approx 0,2325$

		\item Un client attend depuis 10 minutes. La probabilité qu'il doive attendre au moins 5~minutes de plus pour obtenir une table est la probabilité qu'il attende au moins 15 minutes, sachant qu'il a déjà attendu 10 minutes; c'est-à-dire:
$P_{X \geqslant 10}(X \geqslant 15)$

On sait que la loi exponentielle est une loi à \og{}durée de vie sans vieillissement\fg{} donc que, pour tous réels strictement positifs $s$ et $t$:
$P_{X \geqslant t}(X \geqslant s+t) = P(X \geqslant s)$.

On en déduit que $P_{X \geqslant 10}(X \geqslant 15) = P(X \geqslant 5)$.

On sait que, pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $P(X \leqslant a) = 1-\mathrm{e}^{-\lambda a}$ donc\\ $P(X \leqslant 5) = 1-\mathrm{e}^{-0,1\times 5}=1-\mathrm{e}^{-0,5}$;
$P(X \geqslant 5)=1- P(X \leqslant 5) = 1-\left (1-\mathrm{e}^{-0,5}\right ) = \mathrm{e}^{-0,5} \approx 0,6065$		

La probabilité cherchée est $0,6065$.
		
	\end{enumerate}
	
\item Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70~places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$. 

On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
 
On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.

%\medskip
 
	\begin{enumerate}

		\item% Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$. 
La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$.

Une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(n\,,\,p)$ a pour espérance mathématique $np$ et pour écart type $\sqrt{np(1-p)}$.

Donc $E(Y) = n\times 0,8=0,8n$ et $\sigma(Y)=\sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = \sqrt{0,16n}$ 

		\item Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.
		 
%Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice. 
À la calculatrice, on trouve $p_1 = P(Z \leqslant 71) \approx 0,96$.

		\item On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité 
		
$p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Y \leqslant 70\}$.
Le restaurant a reçu 81 réservations.
 
%Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?

On cherche donc la probabilité que plus de 70 clients se présentent, c'est-à-dire $P(Y >70)$.
Or $P(Y >70) = 1-P(Y \leqslant 70) = 1-p_1 \approx 0,04$.

La probabilité cherchée est $0,04$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  