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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la fonction $\ln$}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2015}}
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$.

Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par

\[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\]

On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du cas particulier } $a = 2$

La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb{R}$ (\emph{on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition}.
		\item En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude du cas général où $a$ est un réel strictement positif}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f_a$ sur  $\mathbb{R}$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
		\item Étudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
		\item Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à  $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à  $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à  $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à  $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à  l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\tiny		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&\numprint{1,4142} &\numprint{1,9571} &\numprint{1,9986} &\numprint{1,9999} &\numprint{1,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à  afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à  $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à  $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&\\
				&\\ 
Sortie :		&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{multicols}
\newpage
\setcounter{subsection}{0}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2015}}
\begin{enumerate}
	\item $f_a$ est une somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a:
	
	 $\forall x \in \mathbb{R}, \: f_a'(x)=\mathrm{e}^{x-a}-2$

$f'_a(x)>0 \iff \mathrm{e}^{x-a}-2 >0 \iff \mathrm{e}^{x-a}>2 \iff x-a > \ln 2 \iff x > a+\ln 2$
	
	$f'_a(x)$ s'annule et change de signe pour $x=a+\ln 2$ en étant négatif puis positif donc $f_a$ admet un minimum en $a+\ln 2$ égal à $f_a(a+\ln 2)=\mathrm{e}^{a=\ln 2 - a} -2(a+\ln 2)+\mathrm{e}^{a}=2-2a-2\ln 2+ \mathrm{e}^{a}$.
	
%	\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$f_a'(x)$ / .7,
%$f_a$ / 2}
%{ $-\infty$ , $a+\ln 2$ ,$+\infty$}
%{ ,-,z,+,}
%{ +/ , -/$f_a(a+\ln 2)$ , +/}%
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \hspace*{\esp} & a+\ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f_a'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{~}  &  &  &  & \Rnode{max2}{~}   \\
f_a & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{f_a(a+\ln 2)} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
	
	\item En $a+\ln 2$, on a $f_a(a+\ln 2)=2-2a-\ln 2+\mathrm{e}^a$. 
	
	Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction $\varphi$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par $\varphi(a)=2-2a-\ln 2+\mathrm{e}^a$
	
$\varphi'(a)=-2+\mathrm{e}^a$; $-2+\mathrm{e}^a >0 \iff \mathrm{e}^{a}>2 \iff a>\ln 2$
	
$\varphi'(a)$ s'annule et passe de négatif à positif en $a=\ln 2$.
	
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$\varphi'(x)$ / .7,
%$\varphi$ / 2}
%{ $-\infty$ , $\ln 2$ ,$+\infty$}
%{ ,-,z,+,}
%{ +/ , -/$4-3\ln 2$ , +/}%
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \hspace*{\esp} & \ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
\varphi'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{~}  &  &  &  & \Rnode{max2}{~}   \\
\varphi & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{4-4\ln 2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Prendre $a=\ln 2$, minimise donc le minimum de $f_a$ qui est égal à \\
$\varphi(\ln 2)= 2-2\ln 2 - 2\ln 2 +\mathrm{e}^{\ln 2} = 4-4\ln 2$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item On a : $u_0=1$, $u_1 = \displaystyle\sqrt{2u_0}= \displaystyle\sqrt{2}$, $u_2 = \displaystyle\sqrt{2u_1}=\displaystyle\sqrt{2\sqrt{2}}$ et 
		
$u_3 = \displaystyle\sqrt{2u_2}=\displaystyle\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=1.8340$ à $10^{-4}$ près.		
		\item Cet algorithme permet le calcul du terme de rang $n$. 
		\item D'après le tableau des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$, on peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 2.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		
\textbullet ~~Initialisation
		
On a $u_0=1$ donc $0 < u_{0} \leqslant 2$
		
\textbullet ~~Hérédité
		
Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $0 < u_{n} \leqslant 2$.
		
On a :
		$0 < u_{n} \leqslant 2\Leftrightarrow 0 < 2u_{n} \leqslant 4 \Leftrightarrow0 <\sqrt{ 2u_{n}} \leqslant 4\Leftrightarrow0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
				
\textbullet ~~Conclusion
		
$0 < u_{0} \leqslant 2$
		
Si $0 < u_{n} \leqslant 2$ alors	$0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
		
D'après l'axiome de récurrence on a pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} \leqslant 2$.
				
		\item Déterminons le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		
Comme  pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$, comparons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
		
On a : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{2u_{n}}}{u_n}=\sqrt{\dfrac{2u_{n}}{u_n^2}} = \sqrt{\dfrac{2}{u_n}}$.
		
Et comme on a démontré précédemment que $u_{n} \leqslant 2$, alors ${\dfrac{2}{u_n}}\geqslant1$ et ${\sqrt{\dfrac{2}{u_n}}}\geqslant1$. 
		
On en déduit que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$,  $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ ; $(u_n)$ est une suite croissante.		
		\item On vient de prouver que d'une part la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que d'autre part elle est majorée par 2.
		
Ceci démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \\
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$ donc en particulier: 
		
$u_0=\ln(u_0)-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$ 
		
On a aussi pour tout entier naturel $n$,$v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2$, mais $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$.
		
Alors: $v_{n+1} = \ln {\sqrt{2u_{n}}} - \ln 2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)+\ln2\right)-\ln2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)-\ln2\right)=\dfrac{1}{2}v_n$  
		
On peut en conclure que  la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. \\
		\item On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel $n$,  $v_{n}=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.\\
		
		$v_{n} = \ln (u_{n}) - \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left(\dfrac{u_n}{2}\right) = v_n \Leftrightarrow {\dfrac{u_n}{2}}=e^{v_n} \Leftrightarrow u_n=2e^{v_n}$.
		$u_{n}$ en fonction de $n$. \\
		 
		\item Comme $\dfrac{1}{2}\in[0;1]$,		
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}=0$ 		
		 et 
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(v_n\right)}=0$ 
		
		On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(e^x\right)}=1$, alors par composition des limites:$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(e^{v_n}\right)}=1$ et finalement: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(u_n\right)}=2$  \\
		
		\item L'algorithme ci-dessous permet d' afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&Tant que $u\leqslant 1,999$\\
				&Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
				&Affecter à $n$ la valeur $n+1$
\\ 
Sortie :&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{fin}
\end{document}  