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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Sujets de bac}}\end{center}

%\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}}
\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(7.6,8)
\pspolygon(0.5,6)(0.5,0.8)(5,0.2)(5,5.4)%EABF
\psline(5,0.2)(7.2,1.6)(7.2,6.8)(5,5.4)%BCGF
\psline(7.2,6.8)(2.7,7.4)(0.5,6)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.7,2.2)(2.7,7.4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.2)(7.2,1.6)%DC
\uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[d](5,0.2){B} \uput[r](7.2,1.6){C} \uput[ul](2.7,2.2){D} 
\uput[ul](0.5,6){E} \uput[u](5,5.4){F} \uput[ur](7.2,6.8){G} \uput[u](2.7,7.4){H} 
\end{pspicture}

\end{wrapfigure}
Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.\index{géométrie dans l'espace}

Dans le repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées
respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,\: N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,\: P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{\text{MP}}$.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
\item On considère l'algorithme 1 donné en annexe.\index{algorithme}
	\begin{enumerate}
		\item Exécuter \emph{à la main} cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P
données ci-dessus.
		\item À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le
triangle MNP ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste
et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.\index{algorithme}
\item On considère le vecteur $\overrightarrow{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).\index{équation de plan}
		\item On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$.
		
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.\index{équation paramétrique de droite}
	\end{enumerate}
\item Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
		\item On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$.

Calculer le volume du tétraèdre MNPF{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}



\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|}
\multicolumn{1}{c}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{m{0.2cm}}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 2 (à compléter)}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$&&Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$\\
$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$&&$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$\\
$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$&&$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$\\
$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$&&$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$\\
$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$&&$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$\\
$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$&&$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$\\
$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$&&$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$\\
$k$ prend la valeur $d \times  g + e \times h + f \times i$&&$k$ prend la valeur $d \times  g + e \times h + f \times i$\\
Afficher $k$&&\\ \cline{1-1}
\multicolumn{1}{c}{}&& \\
\multicolumn{1}{c}{}&&\\
\multicolumn{1}{c}{}&&\\ \cline{3-3}
\end{tabularx}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2015}}
Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}~;~ \overrightarrow{\text{OA}},~ \overrightarrow{\text{OB}}, \overrightarrow{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~3) dans ce repère.\index{géométrie dans l'espace} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS
\psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES
\psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC
\psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} 
\uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} 
\uput[u](1.95,5.6){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. 
\item Soit V le point d'intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. 
\item Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}~;~ - \dfrac{1}{6}~;~0\right)$. 

Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$. 

Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$. \index{équation de plan}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S. \index{équation paramétrique de droite}
\item Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU). 
\item Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?\end{enumerate}



\textbf{Annexe 1 (Exercice 1) }

\vspace{1cm}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(3,6)
\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS
\psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES
\psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC
\psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} 
\uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} 
\uput[u](1.95,5.6){S} 
\end{pspicture}
\end{multicols}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2015}}
On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et 

AE = 2.\index{géométrie dans l'espace}

I, J et K sont les points tels que $\overrightarrow{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \overrightarrow{\text{AB}},\:\: \overrightarrow{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{\text{AD}},\:\: \overrightarrow{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AE}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} 
\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} 
\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} 
\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}
\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AI}},~ \overrightarrow{\text{AJ}},~\overrightarrow{\text{AK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG).
\item  Déterminer une équation du plan (IJG).\index{équation de plan}
\item  Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite
(BF).
\item  Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la
figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification.
\end{enumerate}

textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{center}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} 
\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} 
\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} 
\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}
\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)
\end{pspicture}  
\end{center}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole Réunion septembre 2015}}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :\index{géométrie dans l'espace}

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=& \phantom{-}1 + t\\
z&=&-1 - t
\end{array}\right.
, \:t \in \mathbb{R}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).\index{représentation paramétrique de droite}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
		\item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 	
Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.

On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées 
$(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	
\item  Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.

\item  Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.		
		\item Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
		\item En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2015}}
Dans un repère orthonormé (O,~I,~J,~K) d'unité 1 cm, on considère les points A$(0~;~-1~;~5)$,

B$(2~;~-1~;~5)$, C$(11~;~0~;~1)$, D$(11~;~4~;~4)$.\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

Un point $M$ se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1~cm par seconde.

Un point $N$ se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1~cm par seconde.

À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en A et le point $N$ est en C.

On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t~;~-1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)$.

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
		\item La droite (CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
		
Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$.\index{équation de plan}
		\item Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point E$(11~;~-1~;~5)$.
		\item Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$.
		\item À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  