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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les produits scalaires dans le plan}}\end{center}

\subsection{}
\begin{wrapfigure}[8]{r}{4cm}\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
\newrgbcolor{wwccff}{0.4 0.8 1}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,4)
\pspolygon[linecolor=wwccff,fillcolor=wwccff,fillstyle=transp,transpalpha=0.65](0.8,2.4)(1.6,0.8)(3.2,1.6)(2.4,3.2)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(4,4)
\psline(4,4)(0,4)
\psline(0,0)(4,2)
\psline(4,0)(2,4)
\psline(4,4)(0,2)
\psline(0,4)(2,0)
\psline[linecolor=wwccff](0.8,2.4)(1.6,0.8)
\psline[linecolor=wwccff](1.6,0.8)(3.2,1.6)
\psline[linecolor=wwccff](3.2,1.6)(2.4,3.2)
\psline[linecolor=wwccff](2.4,3.2)(0.8,2.4)
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](4,0)
\uput[d](4,0){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](4,4)
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,2)
\uput[l](0,2){\darkgray{$I$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2,0)
\uput[d](2,0){\darkgray{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](4,2)
\rput[bl](4.08,2.12){\darkgray{$K$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2,4)
\rput[bl](2.08,4.12){\darkgray{$L$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0.8,2.4)
\rput[bl](0.88,2.52){\darkgray{$P$}}
\psdots[linecolor=darkgray](1.6,0.8)
\rput[bl](1.68,0.92){\darkgray{$Q$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.2,1.6)
\rput[bl](3.28,1.72){\darkgray{$R$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2.4,3.2)
\rput[bl](2.48,3.32){\darkgray{$S$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{wrapfigure}
ABCD est un carré de côté a. I, J, K et L sont les milieux des côtés du carré. On considère le quadrilatère PQRS (voir figure). On va montrer que c’est un carré et calculer son aire. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que   $\overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{DI}= 0$.

\item Expliquer alors rapidement pourquoi PQRS est un rectangle.

\item Montrer que $\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AL}.\overrightarrow{AD}$.  

\item En déduire la valeur de PS en fonction du côté a du carré ABCD.

\item Montrer alors que le quadrilatère PQRS est un carré.\\
Exprimer l'aire du carré $PQRS$ en fonction de celle du carré $ABCD$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{wrapfigure}[8]{r}{7cm}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(3.,3.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(2.,0.)(2.,2.)(0.,2.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(2.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,0.)(2.,2.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,2.)(0.,2.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,2.)(0.,0.)
\psline(0.,1.)(2.,0.)
\psline(0.,2.)(2.,0.)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{
\parametricplot{2.356194490192345}{2.677945044588987}{0.19789284470293617*cos(t)+2.|0.19789284470293617*sin(t)+0.}
\lineto(2.,0.)\closepath}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.024525223503913295,0.04120004644236712){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
\rput[bl](2.0232429550035684,0.04120004644236712){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](2.0232429550035684,2.0399177779420223){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,2.)
\rput[bl](0.024525223503913295,2.0399177779420223){\blue{$D$}}
%\rput[bl](0.9942001625483006,-0.10392137300645274){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](2.102400092884743,1.00427855732999){\zzttqq{$b$}}
%\rput[bl](0.9942001625483006,2.105882059509668){\zzttqq{$c$}}
%\rput[bl](-0.10740333963137749,1.00427855732999){\zzttqq{$d$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,1.)
\rput[bl](0.024525223503913295,1.0372606981138126){\darkgray{$I$}}
%\rput[bl](0.9480251654509488,0.41060002322118133){$e$}
%\rput[bl](0.9216394528238907,0.93171784760558){$f$}
%\rput[bl](1.8847179637115132,0.04120004644236712){\qqwuqq{$\alpha = 18.43\textrm{\degre}$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{wrapfigure}
Soit ABCD un carré et soit I le milieu de [AD]. On pose a = AB.
\begin{enumerate}
\item On note $\theta$  l’angle $\widehat{IBD}$   .\\
Montrer que :   $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BD}=\left(\dfrac{a^2}{2}\sqrt{10}\right)\times \cos(\theta)$.

\item En exprimant   $\overrightarrow{BI}$ en fonction de $\overrightarrow{BA}$   et de $\overrightarrow{BD}$, montrer que  $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BD}=\dfrac{3}{2}a^2$.

\item En déduire que l’angle $\theta$ est le même dans tous les carrés, c’est à dire qu’il ne dépend pas de la longueur du côté du carré.

\item Donner une valeur approchée de cet angle en degré, au centième près.
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Relation métrique du parallélogramme :}} 
%Soit ABCD un parallélogramme.\\
%Montrer que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre cotés, c’est-à-dire que : \[AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\]  (utiliser une des identités remarquables concernant les produits scalaires).

\subsection{\textcolor{blue}{Puissance d’un point par rapport à un cercle :}}
\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.35cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9,-5)(5,5)
\pscircle(0,0){1.4}
\psline(-7.18,-1.02)(1.98,3.48)
\psline(-7.18,-1.02)(3.47,-1.98)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[linecolor=blue](-7.18,-1.02)
\uput[l](-7.1,-0.9){\blue{$M$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](1.98,3.48)
\psdots[linecolor=xdxdff](3.47,-1.98)
\rput[bl](3.56,-1.86){$D$}
\psdots[linecolor=darkgray](1.98,3.48)
\rput[bl](2.06,3.6){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-3.96,0.56)
\uput[l](-3.88,0.68){\darkgray{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.47,-1.98)

\psdots[linecolor=darkgray](-3.77,-1.33)
\uput[l](-3.77,-1.33){C}
\end{pspicture*}
\end{wrapfigure}
$\mathscr{C}$  est un cercle de centre O et de rayon R.\\
M est un point non situé sur le cercle $\mathscr{C}$.\\
Deux droites issues de M coupent $\mathscr{C}$ respectivement en A et B, et en C et D. L’objectif est de montrer que :\\
 $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$.
\begin{enumerate}
\item On note A’ le point diamétralement opposé à A sur le cercle $\mathscr{C}$.\\
Démontrer que :  $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA'}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la relation de Chasles, montrer que  $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA'}=MO^2-R^2$.

\item En déduire que  $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$.
\end{enumerate}

\item \emph{Information :}
On montre ainsi que le produit scalaire $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$  est indépendant de la sécante issue de M. Il ne dépend que de la distance de M à O. Le réel $MO^2 – R^2$ (nul lorsque M est un point du cercle) est appelé puissance de M par rapport à $\mathscr{C}$.(Il est positif si M est à l’extérieur de C et négatif si M est à l’intérieur).
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  