\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS-TD sur le théorème des valeurs intermédiaires}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-1~;~1\right\}$ par \[f(x)=\dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}.\] 
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 2 cm.

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}}

\noindent $g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : 
$g(x)=x^3-3x-4$.

\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

\item Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Étudier les variations de $g$. Dresser son tableau de variation. 
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'il existe un réel $\alpha$ unique tel que $g(\alpha) = 0$.

\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$

\item Étudier le signe de la fonction $g$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : Etude de la fonction $\mathbf{f}$ }}

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 


\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, \[f'(x) = \dfrac{xg(x)}{ \left(x^2-1\right)^2}.\] 

\item  En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. 
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $x$ de $\mathscr{D}$ : 
\[f(x)=x+2+\dfrac{x+2}{x^2-1}.\]


\item En déduire que la courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport  à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathscr{C}$

\end{enumerate}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  