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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du DST}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2014}}
On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 
$\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ = \ } l}
u_0 & 2\\[5pt]
u_{n+1} & -\dfrac{1}{2}u_n^2 +3u_n -\dfrac{3}{2} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}
\end{array}
\right.$

%\textbf{Partie A : Conjecture}
%
%\medskip

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie A: Conjecture}}

\begin{enumerate}

\item% Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. 
$u_{1} = -\dfrac{1}{2}u_0^2 +3u_0 -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}2^2 +3\times 2 -\dfrac{3}{2} = -2 +6 -\dfrac{3}{2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{2}}}$

$u_{2} = -\dfrac{1}{2}u_1^2 +3u_1 -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{5}{2}\right )^2 +3\times \dfrac{5}{2} -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{25}{8} + \dfrac{15}{2} - \dfrac{3}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{23}{8}}}$ 

\item% Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
En programmant à la calculatrice la fonction $f$ définie par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x^2 +3x -\dfrac{3}{2}$, on obtient:

$u_3 = f(u_2) = f\left(\dfrac{23}{8}\right) = \dfrac{383}{128} \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{2,99219}}}$
et
$u_4 = f(u_3) = f\left(\dfrac{383}{128}\right) \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{2,99997}}}$

\item% Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
On peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} et qu'elle \textbf{\textcolor{red}{converge vers 3}}.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B: Validation des conjectures}
%
%\medskip 

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie B: Validation des conjectures}}

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 
$v_n = u_n - 3$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. 
Pour tout $n$, $v_{n+1} = u_{n+1}- 3 = -\dfrac{1}{2}u_n^2 + 3 u_n - \dfrac{3}{2} - 3 = -\dfrac{1}{2}u_n^2 + 3 u_n - \dfrac{9}{2}$

$v_n^2 = \left ( u_n-3\right )^2 = u_n^2 - 6u_n +9$
donc
$-\dfrac{1}{2} v_n^2 = -\dfrac{1}{2} \left (  u_n^2 - 6u_n +9 \right ) = -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n - \dfrac{9}{2} = v_{n+1}$  

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1} = -\dfrac{1}{2}v_n^2}}$.

\item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$. 

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation }}: $v_0= u_0 - 3 = 2 - 3 = - 1$ donc $- 1 \leqslant  v_0 \leqslant  0$; la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : Supposons la propriété vraie au rang $p\geqslant  0$, c'est-à-dire $-1 \leqslant  v_p \leqslant  0$.

On sait que, pour tout $p$, $v_{p+1} = -\dfrac{1}{2}v_p^2$.

$-1 \leqslant v_p \leqslant 0 \Longrightarrow 0 \leqslant v_p^2 \leqslant 1 \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} \leqslant -\dfrac{1}{2} v_p^2 \leqslant 0 \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} \leqslant v_{p+1} \leqslant 0$

Donc $-1 \leqslant v_{p+1} \leqslant 0$ et donc la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; donc elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on a: $\boxed{\textcolor{red}{-1\leqslant v_n \leqslant 0}}$



\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right)$. 
Pour tout entier naturel $n$:
$v_{n+1}-v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 - v_n =\boxed{\textcolor{red}{ -v_n\left ( \dfrac{1}{2}v_n +1\right )}}$

		\item% En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
Pour tout $n$, $v_n \leqslant 0$ donc $-v_n \geqslant 0$.

Pour tout $n$, $-1 \leqslant v_n \leqslant 0$ donc $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} v_n \leqslant 0$ et donc $\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} v_n +1  \leqslant 1$ ; donc $\dfrac{1}{2} v_n +1 >0$.

$\left.
\begin{array}{l}
-v_n \geqslant 0\\[5pt]
\dfrac{1}{2} v_n +1 >0
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow -v_n\left ( \dfrac{1}{2}v_n +1\right ) \geqslant 0 \iff
v_{n+1} - v_n \geqslant 0$

Pour tout $n$, $v_{n+1} - v_n \geqslant 0$, donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

	\end{enumerate} 

\item% Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par 0 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}. 

\item On note $\ell$ limite de la suite $\left(v_n\right)$. 
On admet que $\ell \in ] - 1~;~0[$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 

%Déterminer la valeur de $\ell$. 

On résout l'équation $x = -\dfrac{1}{2}x^2$ dont $\ell$ est solution:

$x = -\dfrac{1}{2}x^2 \iff 2x+x^2=0 \iff x(2+x)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=-2$

Mais on sait que $\ell \in ] -1\,;\, 0[$ donc ne peut pas correspondre à $x=-2$.

Donc $\ell=0$ et \fbox{\textcolor{red}{la limite de la suite $(v_n)$ est 0.}}

\item% Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? 
La suite $(v_n)$ est croissante et, pour tout $n$, $u_n=v_n+3$; donc on peut dire que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

La suite $(v_n)$ est convergente vers 0 donc, d'après les théorèmes sur les limites, on peut dire que la suite $(u_n)$ est \fbox{\textcolor{red}{convergente vers 3}}.

Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont donc validées.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2014}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]{}0~;~+ \infty]$ par 
$f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}$.

%On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

%On a tracé en \textbf{annexe 1}  dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
$f'(x)= 0-\dfrac{0(x+2)-4\times 1}{(x+2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{(x+2)^2}>0}}$ sur $]{}0\,;\,+\infty]$.

Donc la fonction $f$ est \textbf{\textcolor{red}{strictement croissante}} sur  $]{}0\,;\,+\infty]$.
\item% Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. 

%On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 

On résout dans $]{}0\,;\,+\infty]$ l'équation $f(x)=x$:

$f(x) = x \iff 5-\dfrac{4}{x+2}=x \iff \dfrac{5(x+2)-4 -x(x+2)}{x+2} = 0 \iff 
\dfrac{5x+10-4-x^2-2x}{x+2}=0\\[5pt]
\phantom{f(x)=x} \iff \dfrac{-x^2+3x+6}{x+2}=0 \iff
-x^2+3x+6 = 0 \text{ et }x+2 \neq 0$

On résout $-x^2+3x+6=0$; $\Delta=9-4\times 6\times (-1)=33>0$.

Les solutions sont donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-3-\sqrt{33}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}}}$. 

Cette deuxième solution est négative donc l'unique solution de l'équation $f(x)=x$ dans l'intervalle $]{}0\,;\,+\infty]$ est $\boxed{\textcolor{red}{\alpha=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\approx 4,37}}$.

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. 

Sur la figure de \textbf{annexe 1}, on place les points $M_0$, $M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 

%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? 

On peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante et converge vers $\boldmath{\alpha}$}}.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$
%où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2. 
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $u_n=u_0=1$ et $u_{n+1}=u_1=f(u_0)=5-\dfrac{4}{1+2}=\dfrac{11}{3}$; de plus $\alpha \approx 4,37$.
 
On a $0 \leqslant 1 \leqslant \dfrac{11}{3} \leqslant \alpha$ ce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose la propriété vraie au rang $p \geqslant 0$, autrement dit: $0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha$.

On sait d'après la question \textbf{1.} que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]{}0\,;\,+\infty]$; donc: 
$0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha \Longrightarrow f(0) \leqslant f(u_p) \leqslant f(u_{p+1}) \leqslant f(\alpha)$ 

$f(0)=3 \geqslant 0$, $f(u_p)=u_{p+1}$ et $f(u_{p+1})=u_{p+2}$. 

De plus, $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=x$ donc $f(\alpha)=\alpha$.

On a donc $0 \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2} \leqslant \alpha$; on peut dire que la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; donc la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list} 

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.
		\item% Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
Pour tout $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

Pour tout $n$, $u_n \leqslant \alpha$ donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{majorée}} par $\alpha$.

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}.
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par 
$S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + ]ots + u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près. 
$S_0=u_0=1$;
$S_1=u_0+u_1 = 1+\dfrac{11}{3} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{14}{3} \approx 4,67}}$

$S_2= u_0+u_1+u_2 = S_1+u_2$; $u_2=f(u_1)=f\left(\dfrac{11}{3}\right ) = \dfrac{73}{17}$ donc
$S_2 = \dfrac{14}{3}+\dfrac{73}{17} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{457}{51} \approx 8,96}}$ donc $S_2 \approx 8,96$.

		\item On complète l'algorithme donné en annexe 2  pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur. 

		\item% Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+\infty$. 
On sait que la suite $(u_n)$ est croissante donc, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n\geqslant u_0$.

Or $u_0 = 1$, donc, pour tout $n$, $u_n \geqslant 1$ et donc
$S_n = u_0+ u_1 + \ldots + u_n \geqslant n+1$.

Or $\lim_{n \to +\infty} n+1=+\infty$ donc, d'après les théorèmes de comparaison sur les limites: 

\hfill $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty}}$ \hfill\null
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Construction des termes de la suite}}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\psset{linecolor=red}
\psline(1,0)(1,3.67)
\psline(0,3.67)(3.67,3.67)
\psline(3.67,0)(3.67,4.294)
\psline(0,4.294)(4.294,4.294)
\psline(4.294,0)(4.294,4.364)
\uput*{8pt}[d](1,0){\red $M_0$}
\uput*{8pt}[d](3.67,0){\red $M_1$} \uput[l](0,3.67){\red $u_1$} 
\uput*{8pt}[d](4.294,0){\red $M_2$} \uput[l](0,4.294){\red $u_2$}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](4.37,0)(4.37,4.37)
\uput[dr](4.37,0){\blue $\alpha$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill


\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Algorithme}}
\bigskip 


\renewcommand\arraystretch{1.2}

 %%% <= terminer le paragraphe
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entrée :}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables :}		&$u$ et $s$ sont des variables réelles\\ 
							&$n$ et $i$ sont des variables entières\\
\textbf{Initialisation :}	& $u$ prend la valeur 1 \\
							&$s$ prend la valeur $u$ \\
							&$i$ prend la valeur 0\\ 
							&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement :}		& Tant que $\red i < n$\\ 
							& \hspace*{1cm} Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\
							& \hspace*{1cm} Affecter à $u$ la valeur $\red 5 - \dfrac{4}{u + 2}$\\ 
							& \hspace*{1cm} Affecter à $s$ la valeur $\red s+u$\\ 
							&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $s$\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}
%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation
%
%\[u_{n+1} = au_n + b\quad  (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne  1).\]
%
%On pose, pour tout entier naturel $n,\quad  v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
On a pour tout naturel $n, \: v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{b}{1 - a} = 
au_n + b - \dfrac{b}{1 - a} =$

$au_n + \dfrac{b(1 - a) - b}{1 - a} = au_n - a\dfrac{b}{1 - a} = a \left[u_n - \dfrac{b}{1 - a}\right] = \boxed{\textcolor{red}{av_n}}$.

L'égalité $v_{n+1} = a v_n$, vraie pour tout naturel $n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $a$.
\item %En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.

On sait que $v_n = v_0 \times a^n$ ; donc si $a \in ]-1~;~1[$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a^n = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n - \dfrac{b}{1 - a}=0$ soit $\displaystyle\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{b}{1 - a}}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80~cm. On lui conseille de la tailler tous
%les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30~cm
%au cours des douze mois suivants.
%
%Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Après la taille la plante mesure $80 \times \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) = 80 \times \dfrac{3}{4} = \boxed{\textcolor{red}{60\text{~(cm)}}}$.

\noindent Au bout de 1~an elle a poussé de 30 cm ; elle mesurera donc en mars 2016 avant la tailles $60 + 30 = \boxed{\textcolor{red}{90\text{~cm}}}$.

\item %Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad  h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
D'une année sur l'autre, tailler le quart revient à multiplier par $\dfrac{3}{4} = 0,75$ et la pousse annuelle est de 30~cm, donc :
		
pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{h_{n+1} = 0,75h_n + 30}}$.

		\item %Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$.
Mars 2015 correspondant à $n = 0$, on a : $h_0 = 80$ ; $h_1 = 90$,

$h_2 = 0,75 \times 90 + 30 = 67,5 + 30 =\boxed{\textcolor{red}{ 97,5}}$ : la suite \textbf{\textcolor{red}{semble être croissante}}.		
%Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
Démontrons cette conjecture  par récurrence :

\noindent \emph{\textcolor{blue}{Initialisation}} : on sait déjà que $h_0 < h_1$ ;

\noindent \emph{\textcolor{blue}{Hérédité} } : supposons qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $h_p < h_{p+1}$, alors 

$0,75h_p < 0,75h_{p+1} \iff 0,75h_p + 30  < 0,75h_{p+1}  + 30 \iff h_{p+1} < h_{p+2}$ : l'hérédité est démontrée, donc la suite $\left(h_n \right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

		\item %La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.

On utilise le résultat de la partie A avec la suite $\left(h_n \right)$ et les coefficients $a = 0,75$ et b = 30.

Comme $- 1 < 0,75 < 1$, la suite $\left(h_n \right)$ converge vers $\dfrac{b}{1 - a} = \dfrac{30}{1 - 0,75} = \dfrac{30}{0,25} = \boxed{\textcolor{red}{120}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  