\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}
$u_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\text{ d}x$.

\begin{enumerate}
\item $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\ln 2}}$


\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$, \\
$u_{n+1}-u_n=\int_0^1\dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\text{ d}x=\int_0^1\dfrac{x^n(1+x)}1+x{\text{ d}x=\int_0^1}x^n\text{ d}x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n+1}}}$ en ulilisant la linéarité et en factorisant.

\item On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{u_1=1-u_0=1-\ln 2}}$.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item \text{ }
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Initialisation}&Affecter à $u$ la valeur $\ln 2$\\
\textbf{Traitement}: &Pour $i$ variant de 1 à $n$\\&\\
&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{i}+u$\\
&Fin de Pour \\
Sortie :& Afficher $u$
\end{tabular}

\end{center}

\item On peut conjecturer que la suite est décroissante . 
\end{enumerate}



\item 
\begin{enumerate}
\item  Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\int_0^1\dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\text{ d}x\leqslant 0$ car $x^n\geqslant 0$, $1+x\geqslant 0$ et $x-1\leqslant 0$ sur [0~;~1] (positivité de l'intégrale).

La suite est donc décroisssante.

\item La suite est décroissante, minorée donc convergente.
		\end{enumerate}


\item On appelle la limite de la suite $\ell$.
\og{}En passant à la limite \fg{}dans l'égalité : $u_{n+1}+u_n=\dfrac{1}{n+1}$, on obtient $2\ell=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}

\begin{enumerate}
\item La tangente en 1 est bien la droite d'équation $y=\mathrm{e}x$ ; il suffit d'écrire l'équation de la tangente.

\item On conjecture qu'il y a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 0 point d'intersection pour $0\leqslant ù<\mathrm{e}$.

\item 1 point d'intersection pour $m=\mathrm{e}$.

\item 2 points d'intersection pour $m=\mathrm{e}$
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : il faut considérer l'équation \\
$f(x)=mx\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=mx\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}-mx=0$.

\noindent On étudie alors la fonction $g:x\mapsto \mathrm{e}^{x}-mx=0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-m$ qui s'annule en $\ln(m)$.

\item $g'(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant \ln(m)$ et $g'(x)\leqslant 0$ pour \\
$x\leqslant \ln(m)$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Limites}} : facile en $-\infty$ et en faisant apparaître $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ en $+\infty$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\ln(m)&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\h{\pI}&\d&m(1-\ln(m))&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

%L'élève part tous les jours à 7h40 de son domicile et doit arriver à 8h00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.\\
%Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\numprint{99,4}\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\%$ des cas.\\
%On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l'évènement 
%\og L'élève se rend au lycée à vélo\fg, B l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg et R l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.
\begin{enumerate}
\item %Traduire la situation par un arbre de probabilités.


\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $\numprint{0,7}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\numprint{0,006}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\numprint{0,994}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $\numprint{0,3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\numprint{0,05}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\numprint{0,95}$}
}
}
\vspace{1.5cm}

\item D'après l'arbre ci-dessus $p\left(V \cap R\right)=\numprint{0,7}\times\numprint{0,006}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0042}}}$.
\bigskip

\item D'après l'arbre ci-dessus, la probabilité de l'évènement R est \[p(R)=p\left(V \cap R\right)+p\left(B \cap R\right)=\numprint{0,0042}+\numprint{0,3}\times\numprint{0,05}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0192}}}\]
\medskip

\item On cherche à déterminer $p_R\left(B\right)$:
\[p_R\left(B\right)=\dfrac{p\left(B\cap R\right)}{p\left(R\right)}=\dfrac{\numprint{0,3}\times\numprint{0,05}}{\numprint{0,0192}} =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{0,78125}}}\]
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : le vélo}}

%On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.\\
%Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d'espérance $\mu=17$ et d'écart-type $\sigma=\numprint{1,2}$
\begin{enumerate}
\item Cela revient à calculer $p\left(15\leqslant T\leqslant 20\right)$. \`A la calculatrice, nous obtenons, $p\left(15\leqslant T\leqslant 20\right)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,946}}}$ 
\bigskip

\item Il sera en retard au lycée s'il met plus de  20 minutes pour effectuer le trajet. On cherche donc la probabilité de l'évènement \og $T \geqslant 20$\fg{}. \`A la calculatrice, nous obtenons 
\[p\left( T\geqslant 20\right)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0062}}}\]
\medskip

\item On cherche la durée maximale de son temps de parcours $T_0$ (en minutes) tel que 
$p\left( T\leqslant T_0\right)=\numprint{0,9}$. \`A la calculatrice, nous obtenons 
\[p\left( T\leqslant \numprint{18,5379}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,9}}}\]

Ce qui signifie qu'il a une probabilité de $0,9$ de mettre moins de 18 minutes et 30 secondes (environ). Il peut donc partir au plus tard à 8 heures moins 18 minutes et 30 secondes, soit à 7~h~41 minutes et 30 secondes. 

À une minute près, il peut partir au maximum à 7~h~41, de sorte à avoir une probabilité d'arriver à l'heure de $\numprint{0,9}$
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Partie C: le bus}}

%Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu'=15$ et d'écart-type $\sigma'$.\\
%On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\numprint{0,05}$.\\
%On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

\begin{enumerate}
\item D'après le cours $Z'$ suit une loi normale centrée-réduite.

\bigskip

\item Puisque $p\left(T' \geqslant 20\right)= \numprint{0,05}$, il vient
\[ p\Big(\dfrac{T'- 15}{\sigma'} \geqslant \dfrac{20-15}{\sigma'}\Big)= \numprint{0,05}  \Leftrightarrow  p\Big(Z' \geqslant \dfrac{5}{\sigma'}\Big)=\numprint{0,05}\]

\`A la calculatrice, en considérant une loi normale centrée-réduite $Z'$, on trouve que
\[ p\Big(Z'\geqslant \numprint{1,6449}\Big)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,05}}}\]
D'où 
\[\dfrac{5}{\sigma'}=\numprint{1,6449} \]
et donc
\[\boxed{\textcolor{red}{\sigma'=\dfrac{5}{\numprint{1,6449}}=\numprint{3,04}}}\quad\text{ à }\quad \numprint{0,01}\quad \text{près} \]
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.

Dans le plan $(EFG)$, les droites $(PM)$ et $(FG)$ ne sont pas parallèles, elles sont donc \textbf{sécantes}; on appelle $L$ leur point d'intersection.

 
%Construire le point L 
\item %On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection.
% 
%On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. 

	\begin{enumerate}

		\item %Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.
		Les droites $(LN)$, $(BF)$ et $(CG)$ sont \textbf{coplanaires} dans le plan $(BCG)$ d'où les constructions de $T$ et $Q$. 

		\item On cherche l'intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.


$
\left.
\begin{array}{@{}r}
\left.
\begin{array}{r}
  \left.
       \begin{array}{r}
           L \in (MP) \Longrightarrow L \in (MNP)\\
           N \in (MNP)
       \end{array}
  \right\rbrace 
  \Longrightarrow (LN) \subset (MNP)\\
   Q \in (LN)
\end{array}
 \right\rbrace
\Longrightarrow
Q \in (MNP)\\[15pt]
Q \in [BF] \Longrightarrow Q \in (ABF)
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
Q \in (MNP) \cap (ABF)
$

\medskip

Les droites $(MP)$ et $(EF)$ du plan $(EFG)$ ne sont pas parallèles, donc elles sont \textbf{sécantes}; on appelle $R$ leur point d'intersection.

\medskip

$
\left.
\begin{array}{r}
R \in (MP) \Longrightarrow R \in (MNP)\\
R \in (EF) \Longrightarrow R \in (ABF)
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
R \in (MNP) \cap (ABF)
$

\medskip

Les plans $(MNP)$ et $(ABF)$ ont deux points en commun, $Q$ et $R$; ils ne sont pas confondus car $P \in (MNP)$ et $P \not\in (ABF)$.

Ces deux plans sont donc sécants et comme $Q$ et $R$ appartiennent aux deux plans, l'intersection des deux plans $(MNP)$ et $(ABF)$ est la droite $\boxed{\textcolor{red}{(QR)}}$. 

\medskip


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(11,13) 
\pspolygon[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=45,linecolor=white](1.15,7.55)(3.5,8.8)(8,6.55)(6.3,2.55)(0.3,5.535)
\psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE
\psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF
\psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8)
\uput[dl](0.3,0.3){A} 
\uput[dr](6.3,0.3){B} 
\uput[r](8,2.8){C} 
\uput[ur](2,2.8){D} 
\uput[ul](0.3,6.3){E} 
\uput[ul](6.3,6.3){F} 
\uput[110](8,8.8){G} 
\uput[ul](2,8.8){H} 
\uput[ul](1.15,7.55){M} 
\uput[dr](7.15,4.55){N} 
\uput[u](3.5,8.8){P} 
\pspolygon(-1.2,6.3)(10.55,12.55)(6.3,2.55)%   RLQ
\psplot{6.3}{11}{1.4706 x mul 2.965 sub}% droite FG
\psplot{-2}{6.3}{6.3}% droite EF
\uput[ul](10.55,12.55){L}
\uput[dr](6.3,2.55){Q}
\uput[100](-1.2,6.3){R}
\uput[dl](0.3,5.535){S}
\uput[dr](8,6.55){T}
\psline[linestyle=dashed](3.5,8.8)(8,6.55)%        PT
\psline[linestyle=dashed](1.15,7.55)(0.3,5.535)%   MS
\end{pspicture}
\end{center}

		
	\end{enumerate} 
\item Notons $S$ le point d'intersection de $(AE)$ et $(QR)$.

La section du cube par le plan $(MNP)$ est le \fbox{\textcolor{red}{pentagone $MPTQS$}}.

\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

%\medskip
% 
%L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vectt{\text{AB}}, \vectt{\text{AD}}, \vectt{\text{AE}}\right)$.
%
%\medskip

 L'espace est rapporté au repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$.

On a $A(0~;~0~;~0)$, $B(1~;~0~;~0)$, $C(1~;~1~;~0)$, $D(0~;~1~;~0)$, $E(0~;~0~;~1)$, $F(1~;~0~;~1)$, $G(1~;~1~;~1)$ et $H(0~;~1~;~1)$.
 
\begin{enumerate}
\item% Coordonnées:
$M$ est le milieu du segment $[EH]$ donc $M$ a pour coordonnées $\left (\dfrac{0+0}{2}~;~\dfrac{0+1}{2}~;~\dfrac{1+1}{2}\right ) =\boxed{\textcolor{red}{\left (0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right )}}$;

$N$ est le milieu du segment $[FC]$ donc $n$ a pour coordonnées $\left (\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{0+1}{2}~;~\dfrac{1+0}{2}\right ) =\boxed{\textcolor{red}{ \left (1~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$ ;

$P(x~;~y~;~z)$ vérifie $\overrightarrow{HP}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{HG}$, on a donc:
$
\left\lbrace
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
x-0 & \dfrac{1}{4}\\
y-1 & 0\\
z-1 & 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
x& \dfrac{1}{4}\\
y& 1\\
z& 1
\end{array}
\right.$
Donc 
$\boxed{\textcolor{red}{P \left (\dfrac{1}{4}\,;\, 1 \,;\, 1\right )}}$.
\item Pour calculer les coordonnées du point $L$, on écrit les systèmes de représentations paramétriques des droites $(MP)$ et $(FG)$.

$(MP)$ passe par $M \left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1 \right)  $ et a pour vecteur directeur $ \overrightarrow{MP} \left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}~;~0 \right)  $.

Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
$\left\lbrace \begin{array}{l @{\ =\ } l l}
x & \dfrac{1}{4}k &\\[8pt]
y & \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} k & \text{où } k \in \mathbb{R} \\[8pt]
z & 1 &
\end{array} \right. $

$(FG)$ passe par $F \left(1~;~0~;~1 \right)  $ et a pour vecteur directeur $ \overrightarrow{FG} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$.

Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
$\boxed{\textcolor{red}{ \left\lbrace \begin{array}{l @{\ =\ } l l}
x & 1 &\\
y &  k' & \text{où } k' \in \mathbb{R} \\
z & 1 &
\end{array} \right.}}$

On détermine l'intersection de ces deux droites:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l @{\ =\ }l}
\dfrac{1}{4}k & 1\\[8pt]
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}k & k'\\[5pt]
1 & 1
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l  @{\ =\ }l}
k & 4\\[5pt]
k' & \dfrac{5}{2}
\end{array}\right.
\] 

Donc le point $L$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\left (1\,;\,\dfrac{5}{2}\,;\,1\right )}}$.

\item On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\dfrac{5}{8}\right)$.

On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{TP}.\overrightarrow{TN}$
\[
\overrightarrow{TP}\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{4}\\0\\\dfrac{3}{8}\end{pmatrix}.\overrightarrow{TN}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{8}\end{pmatrix}=
-\dfrac{3}{4}\times 0+0\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{8}\times \left(-\dfrac{1}{8}\right)\not= 0
\] 
 
Le triangle $TPN$ n'est \textbf{pas} rectangle en $T$.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  