\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A \quad  Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager}}

\medskip

%Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle
%par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$.
%
%La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.
%
%%\begin{center}
%%\psset{xunit=0.075cm,yunit=5cm}
%%%algebraic=true
%%\begin{pspicture}(-80,-0.1)(80,1.1)
%%\psframe(-80,-0.1)(80,1.1)
%%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000](0,0)(-75,0)(75,0)
%%\multido{\n=-75+10,\na=10+10}{15}{\uput[d](\n,0){\na}}
%%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-80}{80}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.45pt,linecolor=blue]{-80}{-21}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%%\psline(-21,0)(-80,0)}
%%\uput[d](-20,0){\blue 64}\rput(-35,0.1){16\,\%}
%%\end{pspicture}
%%\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
%\def\xmin {5}   \def\xmax {165}
%\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\def\m{84}% moyenne 
%\def\s{20}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%
%\def\inf{\xmin} \def\sup{64}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%%\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}
%\multido{\n=10+10}{15}
%{
%\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
%\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
%}
%\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
%\rput(55,0.003){\bf 16\,\%}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
Par symétrie $P(104\leqslant X) = 0,16$ et donc $P(64 \leqslant X \leqslant 104) = 1 - 2 \times 0,16 = 1 - 0,32 = 0,68$.
		\item %Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
On vient donc de trouver que $P(\mu - 20 \leqslant X \leqslant \mu + 20) = 0,68$ : donc $\sigma \approx 20$.
	\end{enumerate}
\item %On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
La variable $Z$ est centrée et réduite : elle suit donc une loi normale centrée réduite.
		\item %Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
On part de $P(X \leqslant 64) = 0,16$, d'où $P(X \leqslant 64) = P(X - 84 \leqslant - 20) =$

$ P\left( \dfrac{X - 84}{\sigma} \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)  = P\left(Z \leqslant - \dfrac{20}{\sigma}\right)$.

Finalement $P\left(Z \leqslant - \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,16$
		\item %En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
Le résultat précédent entraîne que $- \dfrac{20}{\sigma} \approx \numprint{- 0,9945} \iff \sigma \approx \dfrac{20}{\numprint{0,9945}}$ soit $\sigma \approx 20,111$ à $10^{- 3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$. 
	
%Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5~ans.
		Il faut trouver :
		
$P(24 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0,115$ (calculatrice)
		\item %Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
On a $P(X > 120) = 0,5 - P(84 \leqslant X \leqslant 120) \approx 0,037$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro}}

\medskip

%Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
%
%L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans
%supplémentaires.
%
%Des études statistiques menées \textbf{sur les clients qui prennent l'extension de garantie}
%montrent que 11,5\,\% d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut
%assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette
%extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité
%utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
Si $G$ est la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant  pris l'extension de garantie, puisque les tirages sont indépendants et de même probabilité 0,115, $G$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(12,~0,115)$.

La probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie est égale à :

$P(G = 3) = \binom{12}{3} \times 0,115^3 \times (1 - 0,115)^9 \approx \numprint{0,1114}$ soit 0,111 au millième près.
		\item %Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$.
		On a $P(G \geqslant 6) = 1 - P(G \leqslant 5) \approx \numprint{0,001}$  au millième près.
	\end{enumerate}
\item  %L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65~euros supplémentaires,
%El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399~euros, \textbf{si
%une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la
%cinquième année}. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la
%panne est réparable.
%	
%On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie,
%et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur
%ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.

$\bullet~~$Si le client utilise l'extension le gain algébrique est $65 - 399 = - 334$ ;

$\bullet~~$Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est $65$	
\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$.
$\bullet~~$Si le client utilise l'extension le gain algébrique est $65 - 399 = - 334$ ;

$\bullet~~$Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est $65$.

La variable aléatoire $Y$ prend donc deux  valeurs $65$ et $- 334$ avec les probabilités respectives 0,885 et 0,115.
		\item %Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour
%l'entreprise ? Justifier.
On a E$(Y) = 65 \times 0,885 + (- 334) \times 0,115 = 19,115 \approx 19,12$~\euro au centime près. L'offre est donc avantageuse pour l'entreprise puisque celle gagne presque 20~\euro{} par client.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2015}}
%Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. 
%
%La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$. 

\medskip

\begin{enumerate}
%\item Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : \og la tablette est mise sur le marché \fg. 

\item À l'aide de la calculatrice, on calcule $P\left(98 \leq X \leq 102\right) \simeq 0,9545$ à $10^{-4}$ près.

%\item On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97. 

%Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement \og la tablette est mise sur le marché\fg soit égale à $0,97$. 

\item Centrons et réduisons l'évènement afin d'obtenir l'intervalle équivalent portant sur la variable centrée réduite:
\begin{align*}
98 \leq X \leq 102 & \Longleftrightarrow 98 - 100 \leq X-100 \leq 102-100 \\
 & \Longleftrightarrow \dfrac{-2}{\sigma} \leq \dfrac{X-100}{\sigma} \leq \dfrac{2}{\sigma}
\end{align*}
Posons $Z = \dfrac{X-100}{\sigma}$. Nous savons que $Z \sim \mathcal{N}(0;~1)$ et que $P\left(\dfrac{-2}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{2}{\sigma}\right) = 2P\left(Z \leq \dfrac{2}{\sigma}\right) - 1$. 

\medskip
Cherchons $u$ tel que $2P\left(Z \leq u\right) - 1 = 0,97$, soit $P\left(Z \leq u\right) = 0,985$. À la calculatrice, on obtient $u \simeq 2,1701$ à $10^{-4}$ près.

\medskip
Ainsi, $\dfrac{2}{\sigma} = u$, ce qui donne $\sigma = \dfrac{2}{u} \simeq 0,9216$ à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarque}}
Il faut absolument retenir le lien entre la probabilité sur un intervalle centré $P\left(Z \, \in \, [-u_{\alpha};~u_{\alpha}]\right) =  1- \alpha$ et la valeur de la fonction de répartition:\\
$P\left(Z \leq u_{\alpha}\right) = 1-\dfrac{\alpha}{2}$.\\
On peut retrouver rapidement cette formule en faisant un petit dessin permettant de déterminer les probabilités des queues de distribution, toutes deux égales à $\dfrac{\alpha}{2}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie B Contrôle à la réception}}

%\medskip 
%
%Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7\,\%. On dit alors que la fève est conforme. 
%
%L'entreprise a trois fournisseurs différents : 
%
%le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30\,\% et le dernier apporte 20\,\% du stock. 
%
%Pour le premier, 98\,\% de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90\,\% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20\,\% de fèves non conformes. 
%
%On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement \og la fève provient du fournisseur $i$ \fg, pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement \og la fève est conforme \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
%\item Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$. 

\item On cherche à déterminer $P_C(F_1) = \dfrac{P\left(C \cap F_1\right)}{P(C)}$.\\
Faisons un arbre afin de modéliser la situation. On donne les probabilités à partir des hypothèses de l'énoncé.

\psset{nodesep=2mm,levelsep=25mm,treesep=8mm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
   \pstree{\TR{$F_1$}\taput{$0,5$}}
   	{
      \TR{$C$} \taput{$0,98$}
      \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,02$}
    }

   \pstree{\TR{$F_2$} \tbput{$0,3$}}
   {
      \TR{$C$} \taput{$0,90$}
      \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,10$}
    }
   \pstree{\TR{$F_3$} \tbput{$0,2$}}
   	{
      \TR{$C$} \taput{$0,80$}
      \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,20$}
    }
}
\end{center}

Calculons $P(C)$ à l'aide de la formule des probabilités totales:
\[
P(C) = P_{F_1}(C) P(F_1) + P_{F_2}(C) P(F_2) + P_{F_3}(C) P(F_3)
\]
On obtient, après calcul, $P(C)=0,92$.

\medskip
D'autre part, $P\left(C \cap F_1\right) = P_{F_1}(C) P(F_1)$, ce qui donne, après calcul, $P\left(C \cap F_1\right) = 0,49$.

\medskip
Finalement, on obtient $P_C(F_1) = \dfrac{0,49}{0,92} \simeq \numprint{0,5326}$ à $10^{-4}$ près.

%\item Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92\,\% de fèves qu'elle achète soient conformes. 
%
%Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ? 

\item Faisons un arbre qui résume la nouvelle situation:

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
   \pstree{\TR{$F_1$}\taput{$p$}}
   	{
      \TR{$C$} \taput{$0,98$}
      \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,02$}
    }

   \pstree{\TR{$F_2$} \tbput{$1-p$}}
   {
      \TR{$C$} \taput{$0,90$}
      \TR{$\overline{C}$} \tbput{$0,10$}
    }
}
\end{center}

En reprenant la formule des probabilité totale, on cherche $p$ tel que $P(C)=0,92$, ce qui s'écrit:
\begin{align*}
0,98p+0,9(1-p)=0,92 & \Longleftrightarrow 0,08p = 0,02 \\
& \Longleftrightarrow p = \dfrac{0,02}{0,08} = 0,25
\end{align*}

L'entreprise doit donc acheter au minimum 25\% de ses fèves au premier fournisseur.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  