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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle (récurrence et suites)}}\end{center}



\subsection{(\textcolor{blue}{3 points})}
%Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par 3.
Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par 3.

\noindent Soit $\mathscr{P}_n$ la proposition : \og{}$4^n-1=3k_n,~k_n\in\mathbb{Z}$\fg{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n=0$ : $4^9-1=1-1=0$ qui est divisible par 3 ($0=3\times 0$).

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}_n$ vraie pour un tang $n$ quelconque, donc $4^n-1=3k_n,~k_n\in\mathbb{Z}$.

\noindent Alors : $4^{n+1}-1=4\times 4^n-1=4\left(3k_n+1\right)-1=4\times 3k_n+4-1=4\times 3k_n+3=3\left(4k_n+1\right)=3k_{n+1}$ en posant $k_{n+1}=3k_n+1\in\mathbb{Z}$. On obtient bien un multiple de 3.

\noindent |a propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.


\subsection{(\textcolor{blue}{3 points})}
%http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2012_2013/02_ctrle_recurrencel_limite_suites_18_10_2012.pdf
On donne la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ , par : $\left\{\begin{array}{l}t _0 = 0\\t_{ n + 1} = t_ n + \dfrac{1}{ ( n + 1)( n + 2)}\end{array}\right.$.

%\noindent Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n$ , on a : $t_n=\dfrac{n}{n+1}$.
\noindent Démontrons par récurrence que, pour tout naturel $n$ , on a : $t_n=\dfrac{n}{n+1}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $\dfrac{n}{n+1}=0=u_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie pour un tang $n$ quelconque, donc $t_n=\dfrac{n}{n+1}$.

\noindent Alors : $t_n+1=t_n+\dfrac{1}{(+1)(n+2)}=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{(n+1)^2)}{(n+1)(n+2)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n+1}{n+2}}}$ (en simplifiant par $n+1$).

\noindent La propriété est héréditaire
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\subsection{(\textcolor{blue}{Bac S métropole juin 2009 4 points})}
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout $n\geqslant 1$ : $nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1.$\\
\noindent Ce tableau donne les dix premiers termes de la suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après la relation de récurernce, on a : 
\begin{align*}
10w_{10}  & =\left(  10+1\right)  w_{10-1}+1\\
10w_{10}  & =11w_{9}+1\\
w_{10}  & =\dfrac{1}{10}\left(  \left(  11\times19\right)  +1\right)  =\boxed{\textcolor{red}{21}}
\end{align*}


la suite $w_{n}$ semble être la suite des nombres impairs et donc $w_{n}=2n+1$
avec $w_{0}=1.$

\noindent Montrons le par recurrence

Soit $P_{n}$ : \og{}$w_{n}=2n+1$\fg{}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : P$_{0}: \og{}w_{0}=2\times0+1$\fg{} est vraie car $w_{0}=1$

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : supposons P$_{n}$ est vraie et montrons qu'alors $P_{n}$ l'est aussi on a
\begin{align*}
w_{n}  & =2n+1\\
\left(  n+2\right)  w_{n}  & =\left(  n+2\right)  \left(  2n+1\right)  \\
\left(  n+2\right)  w_{n}+1  & =\left(  n+2\right)  \left(  2n+1\right)  +1\\
\left(  n+2\right)  w_{n}+1  & =\left(  n+2\right)  \left(  2n+1\right)  +1\\
\left(  n+1\right)  w_{n+1}  & =2n^{2}+5n+3=\left(  2n+3\right)  \left(
n+1\right)  \\
w_{n+1}  & =\boxed{\textcolor{red}{\left(  2n+3\right)^2}}
\end{align*}
ce qui montre $P_{n+1}$ vraie
\end{enumerate}

D'après l'axiome de  récurrence, on a bien : $\forall
n\in{\mathbb{N}},$  $w_{n}=2n+1$
\end{enumerate}


%\subsection{}
%Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^2+n$ est un multiple de 2.

\subsection{(\textcolor{blue}{5 points})}
%http://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/DM-maths-suite-recurrence-terminale-s.pdf\tableau{}{}{}{}{}{}{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n +1} = u_n + 2 n + 3$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. 
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=2n+3\geqslant 0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n > n^2$.
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n > n^2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=1$ et $n^2=0^2=0$ donc $u_0>0^2$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc $u_n>n^2$.

\noindent Alors : $u_{n+1}=u_n+2n+2>n^2+2n+3=n^2+2n+1+2=(n+1)^2+2)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}>(n+1)^2}}$.

\noindent La propriété est héréditaire
\end{enumerate}
F'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Démontrer que la suite $\left(n^2\right)$ n'est pas majorée.
C'est du cours ! 

\noindent Soit $A>0$ un nombre quelconque. Soit $p$ un entier supérieur à $\sqrt{A}$.

\noindent Pour tout $n\geqslant p$, $n^2\geqslant p^2\geqslant \sqrt{A}^2=A$ (croissance de la fonction carré sur $[0~;~=\infty[$) donc $n^2>A$.

\noindent On en déduit que la suite n'est pas majorée.

\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\item %Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$.
$u_1=u_{0+1}=u_0+2\times 0+3=1+3=\boxed{\textcolor{red}{4}}$.

\noindent $u_2=u_{1+1}=u_1+2\times 1+3=\boxed{\textcolor{red}{9}}$

\noindent $u_3=\boxed{\textcolor{red}{16}}$ ; $u_4=\boxed{\textcolor{red}{25}}$

\item %Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On conjecture que $u_n=(n+1)^2$.

\item %Démontrer par récurrence que cette expression est valable pour tout entier naturel $n$ . 
Effectuons une démonstration par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : pour $n=0$, $(n+1)^2=1^2=1=u_0$ donc c'est vrai our $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Hérédité}} : on suppose que c'est vrai pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n=(n+1)^2$.

\noindent Alors : $u_{n+1}=u_n+2n+3=n^2+2n+1+2n+4=n^2+4n+4=(n+2)^2$ c.q.f.d.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$, donc $u_n=(n+1)^3$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{5 points})}
On considère la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{array}\right.$.

\noindent On admet que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_n\leqslant 3$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}$.

\noindent %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique ; on précisera la raison et le premier terme de cette suite.

$\forall n\in\mathbb{N}$ :

$v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}
=\dfrac{\frac{2}{1+u_n}-1}{\frac{2}{1+u_n}+2}
\dfrac{\frac{2-\left(1+u_n\right)}{1+u_n}}{\frac{2+2+2u_n}{1+u_n}}
=\dfrac{\frac{1-u_n}{1+u_n}}{4+2u_n}{1+u_n}
=\dfrac{1-u_n}{2\left(u_n+2\right)}
=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2}
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}v_n}}$


%On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$.
%
%\noindent Le premier terme est $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{2}{5}$.

\item %En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\forall n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}}$

\item %À partir de la définition de $v_n$, montrer que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{-2v_n-1}{v_n-1}$.
$v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\Leftrightarrow v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1\Leftrightarrow u_nv_n+2v_n=u_n-1\Leftrightarrow u_nv_n-u_n=-2v_n-1\Leftrightarrow u_n\left(v_n-1\right)=-2v_n-1\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{-2v_n-1}{v_n-1}}}$.

\item %En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit :

\noindent $\forall n\in\mathbb{N}$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{-2\times \dfrac{2}{5}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n-1}{\dfrac{2}{5}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n-1}}}$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 