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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS-TD sur les suites \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Dans chaque cas suivant, donner le sens de variation de la suite $(u_{n})$.\\
%
\begin{enumerate}[a)]
\item  $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0\\ u_{n+1}=u_{n}-3\end{array}\right.$

\noindent $u_{n+1}—u_n=-3<0$ donc la suite est décroissante (arithmétique)
\bigskip

\item $u_{n}=1-\frac{1}{2}+\ldots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

\noindent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$ qui change de signe donc la suite n'est pas monotone.
\bigskip

\item $\left\{\begin{array}{lcl}u_{0}&=&1\\u_{n+1}&=&2u_{n}^2+u_{n}\end{array}\right.$

\noindent $u_{n+1}-u_n=2u_n^2\geqslant 0$ donc la suite est croissante.
\end{enumerate}


\subsection{}
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites croissantes ; la suite 
$(u_{n}+v_{n})$ est-elle croissante ?

$\forall n\in\mathbb{N}$, $\left(u_{n+1}+v_{n+1}\right)=\left(u_n+v_n\right)=\left(u_{n+1}-u_n\right)+\left(v_{n+1}-v_n\right)\geqslant 0$ car chacune des parenthèses est positive.

\subsection{}
$(v_{n})$ est la suite définie par $v_{0}=1$ et pour tout entier 
naturel n, $v_{n+1}=\frac{v_{n}}{1+v_{n}}$.\\
On admet que $v_{n}$ est positif pour tout n.

\begin{enumerate}

\item Comment le montrerait-on ?

\noindent Cela se montre par récurrence

\item  Montrer que la suite 
$(u_{n})$ définie par : $u_{n}=\frac{1}{v_{n}}
$ est arithmétique.

Pour tout $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{v_{n+1}}=\dfrac{1+v_n}{v_n}=\dfrac{1}{v_n}+1=u_n+1$ donc $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r=1$.

\noindent $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n=u_0+nr=1+n$ donc $v_n=\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{n+1}$

\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}

Une personne loue un appartement à partir du 1\ier{}
 janvier 2010.
  
\noindent Elle a le choix entre deux formules de contrat. 
Dans  les  deux  cas  le  loyer  annuel  initial  est  \numprint{4800} \euro{}  et  le  locataire  a  l'intention  d'occuper  l'appartement  pendant neuf années complètes. 

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Contrat n\no 1 }}

\noindent Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5\:\% du loyer de l'année précédente. 
   
\begin{enumerate}
\item Calculer le loyer annuel  $u_2$  payé lors de la 2\ieme{}  année.

\noindent $u_21,05u_1=\numprint{5040}$ \euro.

\item Exprimer  $u_n$  (loyer annuel payé lors de la  n\ieme{}  année) en fonction de  $n$.

On a une suite géométrique : $u_n=u_1\times 1,05^{n-1}=\numprint{4800}\times 1,05^{n-1}$.

\noindent En déduire la valeur de  $u_9$ .

$u_9=7091,78613$

\item Exprimer en fonction de  $n$  la somme payée à l'issue de  $n$  années de location. En déduire la somme payée à l'issue de 9 années  de location.  

\noindent On trouve une some égale à $7091,78613\approx 7092$
\end{enumerate}


\item \textbf{\textcolor{red}{Contrat n°2}}

\noindent Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 300 \euro{} du loyer de l'année précédente.     

\begin{enumerate}
\item Calculer le loyer annuel $v_2$  payé lors de la 2\ieme{}  année.

\noindent $v_2=\numprint{5100}$

\item Exprimer $v_n$  (loyer annuel payé lors de la  $n$\ieme{}  année) en fonction de  $n$ .

\noindent On a une suite arithmétique : $u_n=u_1+(n-1)r=\numprint{4800}+300(n-1)=\numprint{4500}+300n$

\noindent En déduire la valeur de $v_9$ .

\noindent $v_9=\numprint{7200}$

\item Exprimer en fonction de  $n$  la somme payée à l'issue de  $n$  années de location.

\noindent En déduire la somme payée à l'issue de 9 années de location.  

$S'=\numprint{54000}$
\end{enumerate}

\item Quel est le contrat le plus avantageux pour le  locataire ?
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  