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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Alph{section}}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}

\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 6 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
21 mai 2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 6 (4 heures)}}
}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2014}}

On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.% On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. 

%Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à  mesure des questions.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à  tout nombre complexe $z$ associe 
$f(z) = z^2 + 2z + 9$.
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. 
$f\left (-1+\i\sqrt{3}\right ) =
\left (-1+\i\sqrt{3}\right )^2 +2\left (-1+\i\sqrt{3}\right )+9 =
1 - 2\i\sqrt{3} - 3 -2 +2\i\sqrt{3} +9 =
\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\item On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$:

$f(z) = 5 \iff z^2+2z+9=5 \iff z^2+2z+4 = 0$; $\Delta = 4-16 = -12 = -\left (2\sqrt{3}\right )^2$

Donc l'équation admet deux racines complexes conjuguées:
$\dfrac{-2+ 2\i\sqrt{3}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-1+\i \sqrt{3}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{-1 - \i \sqrt{3}}}$ 
 
%à‰crire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

On appelle $A$ le point d'affixe $z_{A} = -1+\i \sqrt{3}$ et $B$ le point d'affixe $z_{B} = -1 - \i \sqrt{3}$

$\left| z_{A}\right| = \sqrt{1+3}=2$

Soit $\theta_A$ un argument de $z_A$:
$\left.
\begin{array}{@{} l}
\cos \theta_A = -\dfrac{1}{2}\\[8pt]
\sin \theta_A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
\theta_A = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \text{ où } k\in \mathbb{Z}$

Donc $z_A = 2\mathrm{e}^{\frac{2\i\pi}{3}}$

Les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donc $z_B = 2\mathrm{e}^{-\frac{2\i\pi}{3}}$


$\left| z_{A}\right| = 2$ donc le point $A$ se trouve sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2. De plus la partie réelle de $A$ vaut $-1$ donc $A$ se trouve sur la droite d'équation $x=-1$.
Idem pour $B$.

Voir graphique page \pageref{fig2}.

%Construire alors sur le graphique, à  la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 
%
%On laissera les traits de construction apparents. 


\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
%Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 

$f(z)=\lambda \iff z^2+2z+9=\lambda \iff z^2+2z+9-\lambda=0$

Pour que l'équation $f(z) = \lambda$ admette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que le discriminant du polynà´me $z^2+2z+9-\lambda$ soit strictement négatif.

$\Delta = 4 - 4(9-\lambda) = 4 - 36 + 4\lambda = 4\lambda-32$; $\Delta<0 \iff 4\lambda-32<0 \iff \boxed{\textcolor{red}{\lambda < 8}}$

L'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z)=\lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées est l'intervalle $] -\infty\,;\, 8[$. 

\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 
$\left |f(z) - 8\right | = 3$
 
$f(z)-8 = z^2+2z+9-8 = z^2+2z+1 = (z+1)^2$; donc $\left|f(z)-8\right |=\left |(z+1)^2\right| = \left |z+1\right |^2$ car le module d'un carré est égal au carré du module.

Donc $\left |f(z)-8\right |=3 \iff  \left |z+1\right |^2=3 \iff \boxed{\textcolor{red}{\left |z+1\right | = \sqrt{3}}}$
 
Soit $\Omega$ le point d'affixe $-1$, donc de coordonnées $(-1\,;\, 0)$; si on appelle $M$ le point d'affixe $z$,  alors 

$\left |z+1\right | = \sqrt{3} \iff \left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$.

L'ensemble des points $M$ vérifiant $\left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$ est le \textbf{cercle} de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{3}$.
 
%Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

On trace (F) sur le graphique (voir page \pageref{fig2}). 

\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y)$
$f(z)=z^2+2z+9 = (x+\i y)^2 +2(x+\i y) +9 = x^2 +2\i xy -y^2 +2x +2\i y +9 \\
\phantom{f(z)} = \boxed{\textcolor{red}{x^2 - y^2 +2x+9 +\i(2xy + 2y)}}$.
  
		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
		 
%Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
% 
%Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.

$f(z) \text{ réel} \iff 2xy+2y=0 \iff 2y(x+1)=0 \iff \boxed{\textcolor{red}{y=0 \text{ ou }x=-1}}$

Donc (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) et $D_{2}$ d'équation $x=-1$.
	\end{enumerate} 	
\item% Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 

Le cercle (F) est de centre $\Omega$ d'affixe $-1$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Donc les points d'intersection du cercle (F) avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )}}$.

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$ dont les parties réelles sont égales à  $-1$; donc $A$ et $B$ sont situés sur la droite $D_2$.

$\Omega A = \left | z_A - z_{\Omega}\right | = \left |-1+\i\sqrt{3}+1\right | = \left | \i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $A$ appartient au cercle (F).

$\Omega B = \left | z_B - z_{\Omega}\right | = \left |-1-\i\sqrt{3}+1\right | = \left | -\i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $B$ appartient au cercle (F).

Les coordonnées des quatre points d'intersection des ensembles (E) et (F) sont:

$\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1\,;\, \sqrt{3}\right )$ et  $\left ( -1\,;\, -\sqrt{3}\right )$

\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
\centering \label{fig2}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\def\xmin{-2.9} \def\xmax{2.9} \def\ymin{-2.3} \def\ymax{2.9}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec u$,d][$\vec v$,l]
\uput[dl](0,0){$O$}
\psset{linecolor=red}
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
\psline(-1,\ymin)(-1,\ymax)
\psdots(2;120)(2;-120)
\uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$}
\psset{linecolor=blue}
\pscircle(-1,0){1.732}
\uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$}
\psdots(-1,0)
\uput[ul](-2,1.4){\blue (F)}
\uput[d](2.5,0){$D_1$}
\uput[l](-1,2.5){\red $D_2$}
\end{pspicture*}
\end{figure}



\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 201}4
}
\label{exo2}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 \begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche.
$\bullet~~$ $f_{1}(0) = 0$ : évident ;

$\bullet~~$ $f_{1}(1) = 4 - 6 + 3 = 1$ ;

$\bullet~~$ $f_{1}$ fonction polynôme est dérivable sur [0~;~1] donc continue sur cet intervalle ;

$\bullet~~$ $f'_{1}(x) = 12x^2 - 12x + 3 = 3\left(4x^2 - 4x + 1\right) = 3(2x - 1)^2 \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ donc sur [0~;~1].

$f_{1}$ est donc bien une fonction de retouche.
		\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. 
Il semble que la courbe coupe la droite d'équation $y = x$ pour $x = 0,5$.

On peut vérifier que $f_{1}(0,5) = 0,5$.

On a donc $f_{1}(x) \leqslant x \iff x \geqslant 0,5$.
%Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.

Ce résultat signifie que $f_{1}$ éclaircie les nuances codées par un nombre inférieur à 0,5 et inversement pour celles codées par un réel entre 0,5 et 1.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

%\[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\]
 
%On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. 

%On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. 
		
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ;
		$f_{2}$ est une fonction dérivable car composée de fonctions dérivables, donc $g$ l'est aussi et :
		
$g'(x) = f'_{2}(x) - 1 = \dfrac{\text{e} - 1}{1 + (\text{e} - 1)x} - 1 = \dfrac{\text{e} - 1 - 1 - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x} = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$.  
		\item %Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 

Comme $\text{e} > 1$, le dénominateur est positif comme somme de termes positifs ; le signe de $g'(x)$ est donc celui de son numérateur ; or 

$\text{e} - 2 - (\text{e} - 1)x \geqslant 0 \iff \text{e} - 2 \geqslant (\text{e} - 1)x \iff \dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1} \geqslant x$

On a $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1} \approx 0,418$.

On a donc avec $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1} = a$,

$g'(x) \geqslant 0 \iff  x \leqslant a$ et de m\^eme 

$g'(x) \leqslant 0 \iff  x \geqslant a$.

La fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;a]$, puis décroissante sur $[a~;~1]$.
%Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e}- 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$.

$g$ a donc un maximum $g(a) \approx 0,12$. 
		\item %Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$.
 
%On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.

D'après la question précédente sur l'intervalle $[0~;~a]$ la fonction $g$ est continue et croissante de $g(0) = 0$ à $g(a) \approx 0,12$.

Comme $0,05 \in [0~;~a]$, il existe une valeur unique $\alpha$ de $[0~;~a]$ telle que $f(\alpha) = 0,05$.

On démontre de m\^eme (avec $g$ décroissante) que sur $[a~;~1]$ il existe un réel unique $\beta$ tel que $g(\beta) = 0,05$.

On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à $0,05$.
%
%\medskip
% 
\begin{enumerate}
\item %Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.
% 
%Quel est le rôle de cet algorithme ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline
%\textbf{Variables :}& 	$x$ (nuance initiale)\\ 
%&$y$ (nuance retouchée) \\
%&$E$ (écart)\\ 
%&$c$ (compteur)\\
%& $k$\\ 
%\textbf{Initialisation :}& 	$c$ prend la valeur $0$\\ 
%\textbf{Traitement :}& 	Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\
%&\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
%$x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\ 
%$y$ prend la valeur $f(x)$\\ 
%$E$ prend la valeur $|y - x|$
%\end{tabular}\\
%	&\hspace{2cm}\begin{tabular}{l} 
%	Si $E \geqslant 0,05$, faire\\ 
%\quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\
%Fin si
%\end{tabular}\\ 
%&Fin pour\\
%\textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Cet algorithme calcule le nombre de nuances par palier de 0,01 pour lesquelles la modification est perceptible visuellement. 
\item %Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ?
On applique l'algorithme à la fonction $g = f_{2} - x$. Il calcule toutes valeurs telles que $g(x) \geqslant 0,05$.

Ce sont d'après la question précédente toutes les nuances comprises entre 0,09 et 0,85 : l'algorithme doit donc retourner : $c = 85 - 9 + 1 = 77$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\parbox{0.56\linewidth}{Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, 
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) \leqslant  x$.
 
On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire $\mathcal{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la 
courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d'équations  respectives $x = 0$ et $x = 1$.
 
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire. 
On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet 
qu'elles sont des fonctions de retouche :} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\psline(1,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
}
 
\[f_{1}(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\qquad  
f_{2}(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\mathcal{A}_{f_{1}}$.
$f_{1}$ produit de fonctions positives sur [0~;~1] est positive sur cet intervalle. On a donc :

$\mathcal{A}_{f_{1}} = \displaystyle\int_{0}^1 x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[\text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)} \right]_{0}^1 = \dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 1}\right)$.
		\item %Calculer $\mathcal{A}_{f_{2}}$
		
On a $f_{2}(0) = - 15 + 15 = 0$ et comme il est admis qu'elle est une fonction de retouche elle est croissante sur [0~;~1], donc positive sur cet intervalle. On a donc :

$\mathcal{A}_{f_{2}} = \displaystyle\int_{0}^1 \left(4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}\right)\:\text{d}x = \left[2x^2 - 15x + 60\ln (x + 4)  \right]_{0}^1 =$

$ 2 - 15 + 60 \ln 5 - 60 \ln 4 = - 13 + 60\ln \frac{5}{4}$. 
	\end{enumerate} 
\item %De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ? 

On a $\mathcal{A}_{f_{1}} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 1}\right) \approx 0,316$ et $\mathcal{A}_{f_{2}} = - 13 + 60\ln \frac{5}{4} \approx 0,389$.

C'est la fonction $f_{1}$ qui éclaircit le plus l'image.
\end{enumerate}
%\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion septembre 2008}}
%Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.\\
% La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges.\\
%  La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges.\\
%   Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.\\
%    La règle du jeu est la suivante :
%    \begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 	Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A.
%\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
%\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
%\end{itemize}
%\begin{enumerate}
%\item  Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
%
%\item  Soient E et F les évènements :
%
%    \begin{itemize}
%\item[] E :  \og à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges \fg
%\item[] F :  \og à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge \fg.
%\end{itemize}
%Montrer que $p(\text{E}) =  0,02$ et $p(\text{F}) =  0,17$.
%
%\item  Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur
%reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien.\\
%$X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro).
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
%		\item   Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation.
%	\end{enumerate}
%\item Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que $p_{n} =  1 - (0,9)^n$.
%		\item   Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite.
%		\item   Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ?
% 	\end{enumerate}
%\end{enumerate}




\subsection{}

Dans un stand, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$. Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$.

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A_n$ l'évènernant \og{}La n-ième cible est atteinte\fg{} ;

\item $B_n$ l'évènement \og{}La n-ième cible n'est pas atteinte\fg{} ;

\item a$_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ ;

\item $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$.
$a_1-\dfrac{1}{2}$ ; $b_1-\dfrac{1}{2}$.


\newpage


%Calculer $a_2$ et $b_2$. On peut utiliser un arbre pondéré.
Faisons un arbre pondéré pour représenter la situation.

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_1$}\taput{ $\frac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_2$}\taput{ $\frac34$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B_2$}\tbput{ $\dfrac14$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B_1$}\tbput{ $\frac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_2$}\taput{ $\frac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B_2$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}

$p\left(A_2\right)=p_{A_1}\left(A_2\right)\times p\left(A_1\right)+p_{B_1}\left(A_2\right)\times p\left(B_1\right)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{8}}}$



\item %Montrer que, pour tout $n$ entier supérieur ou égal 1, 
La formule des probabilités totales donne :
$a_{n+1}=p\left(A_{n+1}\right)=p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)\times p\left(A_n\right)+p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)\times p\left(B_n\right)=\dfrac{2}{4}a_n+\dfrac{1}{2}b_n/\dfrac{3}{4}a_n+\dfrac{1}{2}\left(1-a_n\right)=\dfrac{1}{4}a_n+\dfrac{1}{2}$

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$.
On pose $u_n=a_n-\dfrac{2}{3}$.

Pour tout $n$, $u_{n+1}=a_(n+1)-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}a_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}a_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}a_n-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4}\left(a_n-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{4}u_n$ donc la suite est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{4}$.

%Préciser son premier terme $u_1$.
Le premier terme est $u_1=a_1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{6}$.

\item %En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis t'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
On obtient $u_n=u_1q^{n-1}=-\dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$ et $a_n=u_n+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}-=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
$-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$.


Interpréter le résullal. 

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014}}
\label{Exo4}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
%
%\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]
% 
%On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$  dans un repère orthogonal du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:

$g(x)= 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} =\boxed{\textcolor{red}{ \text{e}^{-x} \left( 5 - 3 \text{e}^{-x} \right) }}$. 

Comme $\text{e}^{-x}>0$ (positivité de l'exponentielle), $g(x)$ est du signe de $5 - 3 \text{e}^{-x} $.

 $5 - 3 \text{e}^{-x} > 0 \Leftrightarrow 5 > 3\text{e}^{-x}  \Leftrightarrow \dfrac{5}{3} > \text{e}^{-x}  \Leftrightarrow \ln \left( \dfrac{5}{3} \right) >-x \Leftrightarrow  \ln \left( \dfrac{3}{5} \right) < x$ ce qui est toujours vrai car  
 
$\ln \left( \dfrac{3}{5} \right)<0 < x$.
 
 Finalement, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \: $\boxed{\textcolor{red}{g(x)>0}}$.
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont un point commun d'abscisse $x$ si et seulement si $ f(x) = x-3$ soit $ g(x) = 0 $ ce qui n'est pas possible car on vient de voir que $g(x) > 0$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ n'ont \textbf{pas de point commun}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Comme $M$ et $N$ ont la même abscisse, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[ $, 

$MN = \mid f(x) - (x-3) \mid = \mid g(x) \mid =\boxed{\textcolor{red}{ g(x)}} $ car $g(x) >0$ d'après la première question.
\item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Si $u$ est dérivable,$\left( \text{e}^{u}\right)' = u' \text{e}^{u} $.

La dérivée de $ x \mapsto \text{e}^{-x} $ est donc $ x \mapsto -\text{e}^{-x} $ et celle de $ x\mapsto \text{e}^{-2x} $ est $ x \mapsto -2 \text{e}^{-2x} $. 

Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $g'(x) =- 5 \text{e}^{-x} + 2 \times 3 \text{e}^{-2x} =\boxed{\textcolor{red}{ 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x}}}$. 

\item $g$ étant dérivable sur  $[0~;~+\infty[$, on étudie le signe de sa dérivée sur  $[0~;~+\infty[$. 

Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, 

$\begin{array}{lll}
 g'(x) \geqslant 0 & \Leftrightarrow 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x} \geqslant 0 & \\
 & \Leftrightarrow 6 \text{e}^{-x} -5 \geqslant 0  & \text{on a divisé par } \text{e}^{-x}>0 \\[5pt]
 & \Leftrightarrow \text{e}^{-x} \geqslant \dfrac{5}{6} & \\[5pt]
 & \Leftrightarrow - x \geqslant \ln \left( \dfrac{5}{6} \right)& \text{croissance de la fonction } \ln \\[8pt]
  & \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x \leqslant \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) }}\\
\end{array}$ 

En $ \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+ ; -) $, donc $g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) $ est un \textbf{maximum} pour $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) = 5 \times \text{e}^{\frac{5}{6}}-3 \times \left( \text{e}^{\frac{5}{6}}\right)^2  = 5 \times \dfrac{5}{6} - 3 \times \left( \dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{36}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{25}{12}}}$ 
 
La distance entre un point de la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ et le point de même abscisse sur la droite  $\mathcal{D}$ est donc maximale lorsque $ x =  \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) $. Cette distance maximale vaut $ \dfrac{25}{16} $ unités.

Remarque : Comme le repère est orthogonal (a priori pas orthonormé), il s'agit d'unité en ordonnée.)
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude d'une aire}

\medskip
 
On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$.

$\mathcal{A}(2) = \displaystyle\int_{0}^2 [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t =  \displaystyle\int_{0}^2 g(t)\: \text{d}t $  et $g>0$ sur $[0;2]$. $\mathcal{A}(2)$ mesure donc (en unités d'aires) l'aire du domaine limité par les droites d'équation $x=0$, $x=2$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$.


\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)}
\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5)
\def\f{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub}
\def\g{x 3 sub}
\uput[ul](4,1.15){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchangle=-45,linestyle=solid]
{% linecolor=white,linewidth=0.0pt permet de ne pas avoir de trait en diagonales 
% reliant les deux  points d'intersections
\psplot{0}{2}{\f} % courbe du bas
\psplot{2}{0}{\g} % courbe du haut
%\closepath
}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}



\item La fonction $g$ est continue sur $ [0 ; +\infty [ $ et $ \mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x g(t)\: \text{d}t $, la fonction $ \mathcal{A} $ est donc dérivable sur  $ [0 ; +\infty [ $ et $  \mathcal{A}' = g >0 $. La fonction $\mathcal{A}$ est donc bien \textbf{croissante} sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 

\item Pour tout réel $x$ strictement positif, 

$ \begin{array}{lll}
\mathcal{A}(x) & =  \displaystyle\int_{0}^x g(t)\: \text{d}t & \\[8pt]
&= 5\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t} \: \text{d}t - 3\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-2t} \: \text{d}t  & \text{ par linéarité de l'intégrale} \\[8pt]
& = 5\displaystyle \left[-\text{e}^{-t} \right]_0^x -3\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2t} \right]_0^x \\[8pt]
&= 5\left( -\text{e}^{-x} +1 \right)  - 3 \left( -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{2} \right) & \\[8pt]
& = 5  - 5 \text{e}^{-x}+ \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x} -\dfrac{3}{2} \\[8pt]
\end{array}  $ \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{A}(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2}}}
$

\item $\mathcal{A}(x) = 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0$ 

On pose $ X = \text{e}^{-x} $

$\begin{array}{lll}
x \text{ solution de }  \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0 & \Leftrightarrow X \text{ solution de } \dfrac{3}{2}X^2 - 5 X + \dfrac{3}{2}= 0 \\[5pt]
&\Leftrightarrow X \text{ solution de } 3X^2-10X+3=0 & \text{ équation du second degré} \\[5pt]
&\Leftrightarrow X = \dfrac{1}{3} \text{ ou } X = 3 \\[5pt]
&\Leftrightarrow \text{e}^{-x} =\dfrac{1}{3} \text{ ou } \text{e}^{-x} = 3 & \text{on revient à } x \text{ et } X = \text{e}^{-x} \\[5pt]
&\Leftrightarrow x = \ln 3 \text{ ou } x = - \ln 3 & - \ln \dfrac{1}{3} = -(-\ln 3) = \ln 3 \\[5pt]
&\Leftrightarrow x = \ln 3 & \text{car } x \geqslant 0 \text{ et } -\ln3 <0
\end{array} $
\end{enumerate}

Finalement, $\mathcal{A}(x) = 2 \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x = \ln 3}}$.


\newpage

%
%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV  (spécialité)}}
%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}
%
%\medskip
% 
%Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
% 
%Rapidement les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{description}
%\item[ ] $S$ : \og l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté \fg, 
%\item[ ] $I$ : \og l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté \fg, 
%\item[ ] $M$ : \og l'individu est malade et infecté \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\bigskip
% 
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip
%
%\index{graphe}
%
%Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les $100$~personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à $\dfrac{1}{3}$ et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{3}$, 
%\item parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{2}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
% 
%La situation peut être représentée par un \index{graphe} graphe probabiliste comme ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,4)
%%\psgrid
%\cnodeput(3,3){S}{$S$}
%\cnodeput(1,1){I}{$I$}
%\cnodeput(5,1){M}{$M$}
%\nccircle{->}{S}{0.4cm}
%\nccircle[angleA=-180]{<-}{I}{0.4cm}
%\nccircle[angleA=-180]{->}{M}{0.4cm}
%\ncarc{<-}{I}{S}\rput(1.55,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
%\ncarc{->}{S}{M}\rput(4.45,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
%\ncarc{->}{I}{M}\rput(3,0.7){$\dfrac{1}{2}$}
%\rput(3.8,3.4){$\dfrac{1}{3}$}\rput(5.6,0.4){1} \rput(0.4,0.4){$\dfrac{1}{2}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%On note $P_{n} = \left(s_{n}\quad i_{n}\quad m_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines où $s_{n}, i_{n}$ et $m_{n}$désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la $n$-ième semaine. 
%
%On a alors $P_{0} = (0,99\quad 0\quad 0,01)$ et pour tout entier naturel $n$, 
%
%\[\renewcommand\arraystretch{1.7}
%\left\{\begin{array}{l c l}
%s_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n}\\
%i_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\
%m_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n}
%\end{array}\right.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Écrire la matrice $A$ appelée \emph{matrice de transition}, telle que pour tout entier naturel $n,\:$
%
%$P_{n+1} = P_{n} \times A$.
%\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
%$P_{n} = P_{0} \times A^n$.
%\item Déterminer l'état probabiliste $P_{4}$ au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à $10^{- 2}$.
% 
%Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ? 
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
%
%La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population.
% 
%L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition : 
%
%\renewcommand\arraystretch{1.7}
%\[B = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\
%\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\
%\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}
%\end{pmatrix}.\]
%\renewcommand\arraystretch{1}
%
%On note $Q_{n}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, $Q_{n} = \left(S_{n}\quad I_{n}\quad M_{n}\right)$ où $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$ désignent respectivement la  probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la $n$-ième semaine après la vaccination. 
%
%Pour tout  entier naturel $n$, on a alors $Q_{n+1}  = Q_{n} \times B$.
%
%D'après la partie A, $Q_{0}  = P_{4}$. Pour la suite, on prend $Q_{0} = (0,01\quad  0,10\quad 0,89)$ où les coefficients ont été 
%arrondis à $10^{–2}$.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Exprimer $S_{n+1}, I_{n+1}$ et $M_{n+1}$ en fonction de $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$.
%\item Déterminer la constante réelle $k$ telle que $B^2  = kJ$ où $J$ est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
% 
%On en déduit que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2,  $B^n  = B^2$.
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $Q_{n} = \left(\dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\quad 
%\dfrac{1}{3}\right)$. 
%		\item Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. 
%		
%Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\newpage
%
%
%\begin{center}
%\textbf{\textcolor{red}{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}}
%\end{center}
%
%\large \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L' \ref{Exo1}}}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%
%
%
%\begin{center}
%\psset{unit=2cm,comma=true}
%\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec u$,d][$\vec v$,l]
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%%\psset{linecolor=red}
%%\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
%%\psline(-1,\ymin)(-1,\ymax)
%%\psdots(2;120)(2;-120)
%%\uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$}
%%\psset{linecolor=blue}
%%\pscircle(-1,0){1.732}
%%\uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$}
%%\psdots(-1,0)
%%\uput[ul](-2,1.4){\blue (F)}
%%\uput[d](2.5,0){$D_1$}
%%\uput[l](-1,2.5){\red $D_2$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%
%\newpage
%
%
%\large \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L' \ref{exo2}}}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=6.5cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.4,-0.2)(1.25,1.2) 
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.4,-0.2)(1.25,1.2)
%\psframe(1,1)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%
%\large \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L' \ref{Exo4} (EBSEIGNEMENT OBLIGATOIRE)}}
%
%\vspace{0,5cm}
%	
%\begin{center}
%\psset{xunit=2.5cm,yunit=1.5cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
%\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)}
%\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
%\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub}
%\uput[ul](4,1.15){$\mathcal{C}_{f}$}
%\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%
%\end{center}




\label{fin}
\end{document}  