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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : correction du devoir sur table  \no 4 (4 heures)}}
}\end{center}
%
%Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

%\vspace{3cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice I : Antilles-Guyane juin 2014}}
\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $g(x)=1-x+\mathrm{e}^{x}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ : $\lim_{x\rightarrow -\infty}(1-x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ donc, par somme, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=+\infty}}$.

\item Limite en $+\infty$ : on e une forme indéterminée.

\noindent $\forall x\neq 0$, $g(x)=x\left(\dfrac{1}{x}-1+\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ (d'après les croissances comparées), donc 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{x}-1+\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ et par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables, et pour tout réel $x$: $g'(x)=-1+\mathrm{e}^{x}$.

\noindent On a alors $g'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \mathrm{e}^x\geqslant 1\Leftrightarrow x\geqslant 0$.

\noindent Le tableau de variations de $g$ est donc:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\h{\pI}&\d&2&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item On déduit du tableau précédent que, pour tout réel $x$, $\boxed{\textcolor{red}{g(x)\geqslant 2>0}}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Limite en $-\infty$}.

\noindent $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)=-\infty$ ;  $\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=x\times \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ d'où   $\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=-\infty$ donc, par somme: $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$.

\bigskip

 \textbf{Limite en $+\infty$}.
 
 \noindent $\lim_{x\rightarrow+\infty}(x+1)=+\infty$ et, par croissances comparées $\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=0$, donc, par somme $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}}$.
 
 \item Pour tout réel $x$, on a :
 
  $f'(x)=1+\dfrac{1\mathrm{e}^x-x\mathrm{e}^x}{\left(\mathrm{e}^x\right)^2} =1+\dfrac{\mathrm{e}^x(1-x)}{\mathrm{e}^x\times\mathrm{e}^x}
 =1+\dfrac{1-x}{\mathrm{e}^x}
 =\dfrac{\mathrm{e}^x+1-x}{\mathrm{e}^x}
 =\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-x}g(x).}}$
 
\item  On a vu plus haut que, pour tout réel $x$, $g(x)>0$, et comme  par ailleurs $\mathrm{e}^{-x}>0$, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)>0}}$.

\noindent On obtient alors le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme somme et quotient de fonctions continues.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)<0$ donc $f(x)$ prend des valeurs négatives.

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)>0$ donc $f(x)$ prend des valeurs positives.
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.

\noindent Comme $f$ est strictement croissante, l(équation $f(x)=0$ possède dans $\mathbb{R}$ une solution $\alpha$ \textbf{\textcolor{red}{unique}}.

\noindent Par ailleurs, $f(- 1) = - \mathrm{e}^{-1}< 0$ et $f(0) = 1 > 0$, donc: $\boxed{\textcolor{red}{- 1 <\alpha < 0}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La tangente $T$ a pour équation réduite:

\[y = f'(0)(x - 0) + f(0) \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y = 2x+1}}.\]

		\item Posons, pour tout réel $x$, $k(x) = f(x) - (2x + 1)$, alors :

$k(x)=x+1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}-(2x+1)
=\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}-x
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}\left(1-\mathrm{e}^x\right)}}$, qui est du signe de $x\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)$ car $\mathrm{e}^{x}>0$.

Dressons alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
x&&-&\z&+&\\
\hline
1-\mathrm{e}^{x}&&+&\z&-&\\
\hline
k(x)&&-&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

On en déduit que $\mathcal{C}$ est située \textbf{\textcolor{red}{en dessous}} de $T$.
	\end{enumerate}

\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=x+1$.

\noindent $f(x)-(x+1)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ et, par croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x+1)]=0$.

\item On en déduit que $\Delta$ est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.

\item $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)-(x+1)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ qui est du signe de $x$ donc $\mathscr{C}$ est au-dessus de l'asymptote $\Delta$ pour $x\geqslant 0$ et en dessous pour $x\leqslant 0$.
\end{enumerate}

La courbe n'était pa demandée, mais la voilà :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-5.6)(4.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-5.6)(4.,5.)
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{x+1.0+x/EXP(x)}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{2.0*x+1.0}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{x+1.0}
\uput[r](-1,-2.72){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,3){$T$}
\uput[u](3,4.2){$\Delta$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II : Réunion Métropole septembre 2015}}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}

\item les points $A\,(0~;~1~;~-1)$ et $B\,(- 2~;~2~;~- 1)$.

\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l !{=} l}
x&-2 + t\\
y& \phantom{-}1 + t\\
z&-1 - t
\end{array}\right.
, \:t \in \mathbb{R}$.

\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ soient colinéaires doc tels que $\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}$ où $k\in \mathbb{R}$.

$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-2-0\\2-1\\-1-(-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x-0\\y-1\\z-(-1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(x\\y-1z+1)\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{AB}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x & -2k\\
y-1 & k\\
z+1 & 0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & \phantom{0} -2k\\
y & 1+ k\\
z & -1 \phantom{+k}
\end{array}
\right.$

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est:
$\boxed{\textcolor{red}{\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & \phantom{0} -2k\\
y & 1+ k\\
z & -1 \phantom{+k}
\end{array}
\right.
\text{ où } k\in \mathbb{R}}}$

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}(-2\\1\\0)\end{pmatrix}$.

La droite $\mathcal D$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\1\\-1)\end{pmatrix}$.

Les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires donc les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas parallèles}}.

		\item% Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
Les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ sont sécantes si elles admettent un point d'intersection, autrement dit s'il existe un réel $t$ et un réel $k$ tels que

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
-2+t & -2k \\
1+t  & 1+k \\
-1-t & -1
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{c !{=} c}
-2 & -2k \\
0  & k \\
t & 0
\end{array}
\right.
$ Il n'y a donc \textbf{pas de solution}.

Les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas sécantes}}. 

 	\end{enumerate}

\emph{Les deux droites n'étant ni parallèles ni sécantes, elles sont \textbf{\textcolor{red}{non coplanaires}}.}

\end{enumerate}
 	
Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.

On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	
\item%  Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
Soit  $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z - 3u = 0$.

$x_M + y_M - z_M - 3u = -2+u + 1+u -(-1-u) -3u = -2+u + 1+u +1+u -3u=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M\in \mathcal P}}$

Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\,(1\,;\, 1 \,;\, -1)$, qui est un vecteur directeur de la droite $\mathcal D$; donc le plan $\mathcal P$ est \textbf{orthogonal} à la droite $\mathcal D$. 

\item%  Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(AB)$ sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
Pour déterminer si le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants, on résout le système

$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -2k \\
y = 1+k\\
z = -1\\
x+y-z-3u=0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -2k \\
y = 1+k\\
z = -1\\
-2k +1+k+1-3u=0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -2(2-3u) \\
y = 1+2-3u\\
z = -1\\
2-3u=k
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -4+6u \\
y = 3-3u\\
z = -1\\
2-3u=k
\end{array}
\right.$

Donc le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont \textbf{\textcolor{red}{sécants}} au point $\boxed{\textcolor{red}{N\,(-4+6u\,;\,3-3u\,;\,-1)}}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale en $M$ au plan $\mathcal P$; donc la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à toute droite du plan  $\mathcal P$ passant par $M$, donc elle est perpendiculaire à la droite $(MN)$ contenue dans $\mathcal P$ puisque $N\in \mathcal P$.

		\item% Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ ?
La droite $(MN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{MN}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-4+6u - (-2+u)\\3-3u - (1+u)\\-1-(-1-u))\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2+5u\\2-4u\\u)\end{pmatrix}$.

La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-2\\1\\0)\end{pmatrix}$.

Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire de $\overrightarrow{MN}$ et de $\overrightarrow{AB}$ est nul.

$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}= (-2+5u)\times (-2) + (2-4u)\times 1 + u \times 0 = 4-10u+2-4u=6-14u$

$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=0 \iff 6-14u=0 \iff u=\dfrac{3}{7}$

De plus, les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont sécantes en $M$; elles sont donc perpendiculaires si et seulement si $u=\dfrac{3}{7}$.

			\end{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
$MN^2= \parallel MN \parallel^2 = (-2+5u)^2+(2-4u)^2 + u^2
= 4 - 20u + 25u^2 +4 - 16u + 16u^2 + u^2 
=\boxed{\textcolor{red}{ 42u^2 - 36u +8}}$

		\item% En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
$MN^2$ est un trinôme du second degré en $u$ de la forme $au^2+bu+c$, et le coefficient de $u^2$ est $a=42>0$; ce polynôme admet donc un minimum pour $u=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-36}{2\times 42}=\dfrac{3}{7}$.

La distance $MN$ est minimale quand le nombre $MN^2$ est minimal, c'est-à-dire pour $\boxed{\textcolor{red}{u=\dfrac{3}{7}}}$.

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III}}

\begin{enumerate}

\item %Donner la forme algébrique de $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-3\mathrm{i}}$.
$\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-3\mathrm{i}}=\dfrac{(2+3\mathrm{i})(5+3\mathrm{i})}{5^2+3^2}=\dfrac{1+21\mathrm{i}}{34}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{34}+\dfrac{21}{34}\mathrm{i}}}$
\medskip

\item %Déterminer géométriquement l'ensemble des points M dont 
%l'affixe $z$ vérifie $\vert z-2+5\mathrm{i} \vert=8$.
$\vert z-2+5\mathrm{i} \vert=8\Leftrightarrow \vert z-(2-5\mathrm{i}) \vert=8$.

\noindent Soit A le point d'affixe $2-5\mathrm{i}$.

\noindent Alors : $\vert z-(2-5\mathrm{i}) \vert=8\Leftrightarrow AM=8$.

\noindent L'ensemble cherché est le \textbf{\textcolor{red}{cercle de centre A et de rayon 8}}.

\medskip

\item %Déterminer géométriquement l'ensemble des points M dont l'affixe $z$ vérifie $\vert z-1+4\mathrm{i} \vert=\vert z-2-5\mathrm{i} \vert$.
$\vert z-1+4\mathrm{i} \vert=\vert z-2-5\mathrm{i} \vert\Leftrightarrow \vert z-(1-4\mathrm{i}) \vert=\vert z-(2+5\mathrm{i}) \vert$.

\noindent Soient B et C lestions d'affixes respectives $z_B=1-4\mathrm{i}$ et $z_C=2+5\mathrm{i}$.

\noindent Alors : $\vert z-(1-4\mathrm{i}) \vert=\vert z-(2+5\mathrm{i}) \vert\Leftrightarrow BM=CM$.

\noindent L'ensemble cherché est la \textbf{\textcolor{red}{médiatrice du segment [BC]}}.

\medskip

\item %Résoudre l'équation $(2\mathrm{i}+z)(z+\mathrm{i}(3-z))=0$.
Soit l'équation $(2\mathrm{i}+z)(z+\mathrm{i}(3-z))=0\Leftrightarrow $.

\noindent Dans $\mathbb{C}$, un roduit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $2\mathrm{i}+z=0$ donc $z=-2\mathrm{i}$

\item Deuxième cas : $z+\mathrm{i}(3-z)\Leftrightarrow z+3\mathrm{i}-\mathrm{i}z=0\Leftrightarrow (1-\mathrm{i})z=-3\mathrm{i}$ d'où $z=-\dfrac{3\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=-\dfrac{3\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{2}=\dfrac{3-3\mathrm{i}}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}$.
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-2\mathrm{i}~;~\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\right\}}}$

\medskip


\item %Résoudre l'équation $\mathrm{i} \overline{z} + 7 = 2z + 2\mathrm{i}$
Soit l'équation l'équation $\mathrm{i} \overline{z} + 7 = 2z + 2\mathrm{i}$.

\noindent On pose $z=x+\mathrm{i}y$. L'équation s'écrit : 

\noindent $\mathrm{i}(x-\mathrm{i}y)+7=2(x+\mathrm{i}y)+2\mathrm{i}\Leftrightarrow \mathrm{i}x+y+7=2x+2\mathrm{i}y+2\mathrm{i}\Leftrightarrow (y-2x+7)+\mathrm{i}(x-2y-2)=0\Leftrightarrow \systeme{-2x+y=-7,x-2y=2}\Leftrightarrow\systeme{-2x+y=-7,2x-4y=4}$.

\noindent En additionnant les deux lignes, on trouve $-3y=-3$ donc $y=1$ puis, en remplaçant, $x=4$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{4+\mathrm{i}}}$

\medskip

\item %Résoudre l'équation $1-2z = 3\mathrm{i}z+5-\mathrm{i}$.
$1-2z = 3\mathrm{i}z+5-\mathrm{i}\Leftrightarrow (-2-3\mathrm{i})z=4-\mathrm{i}\Leftrightarrow z=\dfrac{4-\mathrm{i}}{-2-3\mathrm{i}}=\dfrac{(4-\mathrm{i})[-2+3\mathrm{i}]}{(-2)^2+(-3)^2}=\dfrac{-5+14\mathrm{i}}{13}=-\dfrac{5}{13}+\dfrac{14}{13}\mathrm{i}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\dfrac{5}{13}+\dfrac{14}{13}\mathrm{i}\}}}$
\medskip

\item %On suppose connu le résultat suivant : pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{zz\prime}=\overline{z} \times \overline{z\prime}$.

%\noindent Démontrer alors que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,~$\overline{z^n}=\overline{z}^n$
C'est du cours (démonstration par récurrence).


\item Soit $z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $z^2$ puis $z^4$.
$z=\dfrac{\sqrt{2}}{1}(1+\mathrm{i})$ donc $z^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(1+\mathrm{i})^2=\dfrac{2}{4}(1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^2)=\dfrac{1}{2}\times 2\mathrm{i}=\mathrm{i}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{z^2=\mathrm{i}}}$.

\noindent On en déduit que $z^4=\left(z^2\right)^2=\mathrm{i}^2=-1$.

\item %En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $z^{4n}$ est un nombre réel.
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $z^{4n}=\left(z^4\right)^n=\boxed{\textcolor{red}{(-1)^n}}\in\mathbb{R}$ donc $z^{4n}$ est \textbf{\textcolor{red}{réel}} pour tout entier $n$ naturel non nul.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (pour les non spécialistes) : Nouvelle Calédonie novembre 2015}}
%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2015}
\begin{enumerate}
\item $\begin{cases} d_1 &=\dfrac12d_0+100=250 \\[5pt] a_1 &=\dfrac12d_0+\dfrac12a_0+70=445\end{cases}$
donc $\boxed{\textcolor{red}{d_1=250}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{a_1=445}}$.

\item 
\begin{enumerate}
	\item On obtient en sortie $\boxed{\textcolor{red}{D=250}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{A=420}}$. Ces résultats ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas cohérents}} avec ceux obtenus à la question 1.
	
	\item Le problème de l'algorithme proposé est qu'il réutilise la variable $D$ pour le calcul de $A$ alors qu'elle a été modifiée.
	
	 On corrige cela en utilisant une variable auxiliaire $E$, déclarée \og nombre réel\fg{} dans l'initialisation :
	\begin{center}
\scalebox{1}{\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables:& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
&$D$, $A$ et $\red E$ sont des réels\\
Entrée:& Saisir $n$\\
Initialisation:& $D$ prend la valeur 300 \\
& $A$ prend la valeur $450$ \\
& Saisir la valeur de $n$\\
Traitement:& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{0.4cm}\vline \; {\red $E$ prend la valeur $D$} \\
&\hspace{0.4cm}\vline \; $D$ prend la valeur $\dfrac D2+100$ \\[5pt]
&\hspace{0.4cm}\vline \; $A$ prend la valeur $\dfrac A2+\dfrac{\red E}{2}+70$ \\
&Fin de Pour\\
Sortie:& Afficher $D$\\ 
& Afficher $A$ \\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
	\item Par définition, on a:
\[e_{n+1}=d_{n+1}-200=\dfrac12d_n-100=\dfrac12\big(d_n-200\big)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac12e_n}}\]
	
	La suite $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac12}}$ et de premier terme $e_0=d_0-200=\boxed{\textcolor{red}{100}}$.
	
	\item D'après la question précédente, on a $\boxed{\textcolor{red}{e_n=\left(\dfrac12\right)^ne_0=100\left(\dfrac12\right)^n}}$.
	
	\[\text{D'où } \; e_n=d_n-200 \iff \boxed{\textcolor{red}{d_n=100\left(\dfrac12\right)^n+200}}\]

\item Comme $0<\dfrac12<1$, on a $ \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$ puis $ \boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\to +\infty} d_n=200}}$.
	
	La suite $(d_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers $200$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
	\item $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1$ qui a un discriminant $\Delta$ égal à 8>0. L'espression est positive à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines, donc pour $n$ supérieur à la plus grande des racines, qui est $\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\leqslant 3$.
	Pour $n\geqslant 3$, on a bien : $\boxed{\textcolor{red}{2n^2\geqslant n+1}}$
	
	

	\item Effectuons une démonstration par récurrence :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Innitialisation :}} Pour $n=4$, on a bien $2^4 = 16\geqslant 4^2=16$ donc la propriété est \textbf{\textcolor{red}{initialisée}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité }}:Supposons qu'il existe un entier $k>4$ tel que $2^k \geqslant k^2$.
	En multipliant les deux membres de l'inéquation par $2$ et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient :
	
\[2^{k+1}\geqslant 2k^2\geqslant (k+1)^2.\]

La propriété est donc \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.

\end{enumerate}	
Initialisée et héréditaire, la propriété $2^n\geqslant n^2$ est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4.

	\item D'après la question précédente, si $n$ est un entier supérieur ou égal à 4, on $0<n^2 \leqslant 2^n $. En composant, cette inégalité par la fonction inverse, décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ et en multipliant par $100$, on obtient alors: $$0<\dfrac1{2^n}\leqslant \dfrac1{n^2} \implies 0<100n \left(\dfrac12\right)^n \leqslant \dfrac{100n}{n^{2}}=\dfrac{100}n$$

	\item D'après la question précédente et les théorèmes d'encadrement :
	
	
	\noindent  $ \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n=\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{100}{n}=0$ et d'après les résultats sur les limites des suites géométriques de raison strictement inférieure à $1$ en valeur absolue $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$.
		
	D'après les résultats sur les limites de sommes, on obtient alors:
	\[\boxed{\textcolor{red}{ \lim_{n\to +\infty} a_n=340}}\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (exercice de spécialité)}}
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%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}
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%\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
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%Un message peut prendre deux formes : soit \og oui\fg, soit \og non\fg. Il est transmis oralement entre plusieurs intermédiaires. Un intermédiaire transmet la plupart du temps au suivant le message qu'il a entendu, mais il a 10\% de chances de se tromper.
%
%On appelle $p_n$ la probabilité que le message transmis par le $n$\ieme\ intermédiaire est \og oui\fg\ et $q_n$ la probabilité que le message transmis par le $n$\ieme\ intermédiaire est \og non\fg.
%
%On suppose que $p_0=1$ et $q_0=0$.
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%\begin{enumerate}
%	\item Calculer $p_1$ et $q_1$.
%	\item Sachant que la situation peut être représentée par une marche aléatoire, donnez sa matrice de transition $M$.
%	\item Quelle est la probabilité que le 20\ieme\ intermédiaire entende le message originel ? Commenter.
%\end{enumerate}
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%\bigskip
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%\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
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%Une entreprise qui produit des bonbons a beaucoup de mal à écouler son stock de bonbons kaki. 
%
%\noindent Pour s'en débarrasser, elle décide de faire des lots comprenant des bonbons bleus (qui se vendent très bien) et des bonbons kaki. 
%
%\noindent Elle dispose de \numprint{1430} bonbons bleus et de 910 bonbons kaki. 
%
%\noindent Elle souhaite écouler totalement ces deux stocks et faire des lots dont la composition est identique.
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%\begin{enumerate}
%	\item Expliquer pourquoi l'entreprise peut faire $\text{PGCD}(1430;910)$ lots.
%	\item Calculer ce nombre et expliquer de quoi sont composés les lots.
%	\item D'autres compositions sont possibles, en faire la liste en justifiant que vous avez épuisé toutes les possibilités.
%	\item Si l'entreprise disposait d'un stock de \numprint{1430000} bonbons bleus et de \numprint{910000} bonbons kaki, quelle composition de lots pourriez-vous proposer ?
%\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  	