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\textwidth 18cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\lfoot{Devoir sur table \no 2 TS1-TS2}
%\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
%21 novembre 2015-2016}


\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : correction du devoir sur table commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}

%Il faut traiter les exercices I, II, III (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi}) et l'exercice IV.

\subsection*{\textcolor{blue}{I}~ \textcolor{blue}{Métropole septembre 2014}}
\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
Comme 20\,\% du médicament est éliminé par minute, il en reste 80\,\%; prendre 80\,\% d'un nombre c'est multiplier par $0,8$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,8\,u_n}}$.

Donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $0,8$ et de premier terme  $u_0 = 10$. %\marginpar{0,25 pt}%\marginpar{0,5 pt}

		\item% Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
La suite $(u_n)$ est géométrique, donc pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n=u_0\times q^n = 10 \times 0,8^n}}$.%\marginpar{0,5 pt}

		\item% Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
La quantité de médicament est inférieure à 1\,\% de la quantité initiale quand $u_n < \dfrac{1}{100}\times u_0$ c'est-à-dire $u_n < 0,1$.

$0<q=0,8<1$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\noindent On trouve à la calculatrice que $\boxed{\textcolor{red}{u_{20}\approx 0,115>0,1}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_{21}\approx 0,092 < 0,1}}$.%\marginpar{0,5 pt}

\noindent Nous verrons plus tard dans l'année comment résoudre l'inéquation.
		
	\end{enumerate} 

\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
L'algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
Variables :&$n$ est un entier naturel.\\
&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\ 
&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
Afficher $v$.\\
\end{tabular}\\  
&Fin de boucle.\\ 
& \\ \hline%[-5pt]
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
		
Le tableau ci-dessous donne la quantité restante de médicament minute par minute: 				
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &  \red \textbf{5,12} & \red \textbf{8,10} & \red\textbf{ 6,48} & \red \textbf{5,18} &8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
%\marginpar{0,5 pt}
\medskip
 
		\item% Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
Les 15 premières minutes, le patient a absorbé 10~mL au début, 	puis 4~mL les minutes 4, 7, 10 et 13 soit 16~mL; ce qui fait un \textbf{\textcolor{red}{total de 26~mL}}.	%\marginpar{0,5 pt}
				
		\item On programme la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.
		 
%Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.

L'algorithme suivant affiche la quantité de médicament restant dans le sang minute par minute:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
Variables :&$n$ est un entier naturel.\\
&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :& 	Pour $n$ allant de 1 à {\red 30}\\ 
&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
Si ${\red v \leqslant  6}$ alors affecter à $v$ la valeur ${\red v+2}$\\
Afficher $v$.\\
\end{tabular}\\  
&Fin de boucle.\\ 
& \\\hline
\end{tabular}
\end{center} 
%\marginpar{0,5 pt}

	\end{enumerate} 
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, 
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}
 
On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. 

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. 
Comme 20\,\% du médicament est éliminé chaque minute, il en reste 80\,\% donc on multiplie par 0,8.
De plus, toutes les minutes, on rajoute 1 mL.

On peut donc dire que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{w_{n+1}=0,8w_n+1}}$.		%\marginpar{0,5 pt}
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$, donc $\boxed{\textcolor{red}{w_n=z_n+5}}$. 

%Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

Pour tout $n$, $z_{n+1}= w_{n+1}-5 = 0,8w_n+1-5 = 0,8 \left (z_n+5\right ) - 4 = 0,8\,z_n+4-4 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,8\,z_n}}$

$z_0 = w_0-5$; or à l'instant 0, on injecte 10~mL donc $w_0=10$. On a donc $z_0=5$.

La suite $(z_n)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de premier terme $z_0=5$ et de raison $q=0,8$.%\marginpar{0,75 pt}

		\item% En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
D'après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que, pour tout $n$ :
\[\boxed{\textcolor{red}{z_n= z_0 \times q^n = 5 \times 0,8^n}}.\]

Or $w_n=z_n+5$ donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{w_n = 5 \times 0,8^n + 5}}$.%\marginpar{0,5 pt}
		 
		\item% Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
La suite $(z_n)$ est géométrique de raison 0,8; or $-1<0,8 <1$ donc la suite $(w_n)$ est convergente vers 0. D'après les théorèmes sur les limites de suite, on peut en déduire que la suite $(w_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}} et \textbf{\textcolor{red}{a pour limite 5}}.

Cela veut dire que, si on poursuit ce traitement, la quantité de médicament présente dans le sang du patient va \textbf{\textcolor{red}{se rapprocher de 5~mL}}.%\marginpar{0,5 pt}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\subsection*{\textcolor{blue}{II}~\textcolor{blue}{Asie juin 2013}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
% 
%On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
Soit $P_n$ la proposition : $\og{}u_n>1\fg{}$. Démontrons-la par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{\textcolor{red}{\textbf{Initialisation}}} : la relation est vraie au rang $0$ ;

\emph{\textcolor{red}{\textbf{Hérédité}}} : supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que $u_{p} > 1$.

$u_{p+1}-1=\dfrac{1+3u_p}{3+u_p}-1=\dfrac{1+3u_p-\left(3+u_p\right)}{3+u_p}=\dfrac{-2+2u_p}{3+u_p}=\dfrac{2\left(u_p-1\right)}{3+u_p}>0$ car $u_p>1$.

La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : on a démontré par récurrence que, quel que soit le naturel $n,\, u_{n} > 1$.%\marginpar{0,5 pt}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
Quel que soit le naturel $n$, \, $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}} - u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n} - 3u_{n}- u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{1 - u_{n}^2}{3 + u_{n}} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}}}$.	%\marginpar{0,5 pt}

		\item %Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
On sait que quel que soit le naturel $n$, \, $u_{n} > 1 \Rightarrow u_{n}^2 > 1^2 \Rightarrow 1 - u_{n}^2 < 0$ et comme $3 + u_{n} > 0$ et finalement $u_{n+1}  - u_{n} < 0$ ce qui signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

  %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $1$ : elle \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers une limite supérieure ou égale à $1$. %\marginpar{0,75 pt}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
%
%\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
% 
%On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

%On considère l'algorithme suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c |l|}\hline
% Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
%Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline 
%\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\ 
%&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
%&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
%&FIN POUR\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&0,800&1,077&0,976\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} %\marginpar{0,5 pt}
\item %Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
%$u$&\footnotesize\np{1,0083}&\footnotesize\np{0,9973}&\footnotesize\np{1,0009}&\footnotesize\np{0,9997}&\footnotesize\np{1,0001}&\footnotesize \np{0,99997}&\footnotesize\np{1,00001}&\footnotesize \np{0,999996}&\footnotesize \np{1,000001}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.
Il semble que la suite \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers $1$ par valeurs \textbf{\textcolor{red}{alternativement supérieures et inférieures.}} %\marginpar{0,25 pt}
\item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
Pour tut $n\in\mathbb{N}$, $V_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \dfrac{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} - 1}{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} + 1}  = \dfrac{0,5 - 0,5u_{n}}{1,5 + 1,5u_{n}} = \dfrac{- 0,5\left(u_{n} - 1\right)}{1,5\left(u_{n} + 1 \right)} =\boxed{\textcolor{red}{ -\dfrac{1}{3}v_{n}}}$.

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $- \dfrac{1}{3}$.%\marginpar{0,75 pt}

		\item %Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
On a $v_{0} = \dfrac{2 - 1}{2 + 3} = \dfrac{1}{3}$.

On sait qu'alors pour tout naturel $n,\, \boxed{\textcolor{red}{v_{n} = \dfrac{1}{3}\times \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n}}$.%\marginpar{0,5 pt}
	\end{enumerate} 
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
		Quel que soit le naturel $n$, \, $\left(- \dfrac{1}{3} \right)^n \leqslant 1$, donc $v_{n} \leqslant \dfrac{1}{3}$ et par conséquent $\boxed{\textcolor{red}{v_{n}\neq 1}}$.  %\marginpar{0,5 pt}
	
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
$v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1} \iff v_{n}\left(u_{n} + 1 \right) = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} + v_{n} = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} - u_{n}+  =  - 1  - v_{n} \iff u_{n}\left(v_{n} - 1\right) = - 1  - v_{n}$ et comme $v_{n} \neq 1$, 

$u_{n} = \dfrac{}{- 1 - v_{n}}{v_{n} - 1} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}}}$.  %\marginpar{0,75 pt}

		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Comme $- 1 < - \dfrac{1}{3} < 1$, on sait que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n = 0$, soit  $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$, donc d'après le résultat précédent $\boxed{\textcolor{red}{\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \dfrac{1}{1} = 1}}$.%\marginpar{0,5 pt}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}






\subsection*{\textcolor{blue}{III}~ \textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013} }
\emph{\textbf{\textcolor{red}{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}}

\begin{center}
Les bonnes réponses sont \fbox{\textcolor{red}{\textbf{b. \;  c. \; a. \; b.}}
}\end{center}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent
des paramètres réels.

%PLAN (P)
Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$ et donc, par
propriété, il a  pour vecteur normal
$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
1\\
$-2$\\
3\end{pmatrix}}}
$.


%PLAN (S)
Le plan (S) a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t + 2t'\\
y& =&\hspace{0.2cm}0  - t - 2t'\\
z &=& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$

Par propriété,  le plan (S) passe par $\textcolor{red}{\text{F}(-2~;~0~;~-1)}$ et a pour vecteurs de
base $\vec{u} \left(
\begin{array}{c}
   1 \\
-1 \\
   -1
\end{array}
\right)$ et $\vec{v}\left(
\begin{array}{c}
  2 \\
 -2\\
  3
\end{array}
\right)$


\medskip

\medskip

%DROITE (D)
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l
c l}
x&=&-2 + t\\
y &=&-t \\
z&=&-1 - t
\end{array}\right.$
\medskip

Par propriété, la droite (D) passe par F$(-2~;~0~;~-1)$ et a pour vecteur
directeur $\vec{u}\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
 -1\\
  -1
\end{array}
%%%%%% correction 'contenue dans le plan (D)'
\right)$, elle est donc clairement contenue dans le plan (S) pour la
valeur $t'=0$.\\

On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip

\begin{enumerate}
%Q1
\item La bonne réponse est \textbf{b.~} en excluant les trois autres ou
en vérifiant directement. %\marginpar{1,25 pt}
\medskip

\textbf{a.~} N'est pas une représentation paramétrique d'un plan plan mais d'une droite.\\


\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$ passe
par (0; 1; 1) $\notin$(P)\\

\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
passe par (1; 1; $-1$) $\notin$(P)\\

\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$
passe par le point A(0; 1; $-1$) qui est élément de (P) car
$0-2\time1+3\times(-1)+5=0$
et a pour vecteurs directeurs $\vec{u}\left( \begin{tabularx}{0.7cm}{X}
1\\
$-1$\\
$-1$
\end{tabularx}  \right)$
et $\vec{v}\left(\begin{tabularx}{0.7cm}{X}
2\\
1\\
0
\end{tabularx}\right)$. Or
$\vec{n} \cdot \vec{u}=0$ et  $\vec{n} \cdot \vec{v}=0$ donc $\vec{n}$
normal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est normal au plan.
On a bien une représentation paramétrique du plan (P).

%Q2
\item  La bonne réponse est \textbf{c.~} \og La droite (D) est une droite
du plan (P). \fg %\marginpar{1,25 pt}
\medskip

Remplaçons, pour $t$ quelconque, les coordonnées d'un point de la droite
dans l'équation du plan (P).
Quel que soit $t \in \mathbb{R}$, $-2-t-2\times (-t)+3\times
(-1-t)+5=-2-3+5+t+2t-3t=0$,  donc tout point de $\Delta$ appartient à (P),
la droite est contenue dans (P).\\

%Q3	
\item La bonne réponse est \textbf{a.~} \og La droite (MN) et la droite
(D) sont orthogonales. \fg %\marginpar{1,25 pt}
\medskip

$\overrightarrow{\text{MN}}$  $\left( \begin{tabularx}{0.7cm}{X}
2\\
$-4$\\
$6$
\end{tabularx}  \right)$  et $\vec{u} \left(
\begin{array}{c}
   1 \\
-1 \\
   -1
\end{array}
\right)$

donc $\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \vec{u}=1+2-3=0$ prouve que (MN) est orthogonale à
(D).
%Q4		
\item La bonne réponse est \textbf{b.~} \og La droite ($\Delta$) et la
droite d'intersection de (P) et (S). \fg %\marginpar{1,25 pt}
\medskip

On vérifie que la droite $\Delta$ est contenue dans chacun des deux plans
(qui ne sont pas confondus par ailleurs).\\
	\begin{itemize}
\item [.] Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $t-2\times(-2 - t)+3\times (-3 - t) + 5 =
t+4+2t-9-3t+5=0$ prouve  $(\Delta) \subset (\text{P})$.
\item [.] Soit E le point de $\Delta$ de paramètre $t=0$ :  E$(0~;~
-2~;~-3)$ et soit  F le point  de paramètre $t = -2$ : F($-2~;~0~;~1$). On
reconnaît le point de (S) de paramètre $(t= 0, t'= 0)$ donc F
$\in(\text{S})$. \\
Montrons que E $\in (\text{S})$. \\
Résolvons le système
$\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&-2 + t + 2t'\\
-2& =&\hspace{0.4cm} - t - 2t'\\
- 3 &=& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ \\

En additionnant les lignes (1) et (3) on obtient $5t'=0$ donc $t'=0$ et en
remplaçant dans les trois équations on obtient bien une seule valeur de
$t=2$. \\Cela prouve que E $\in (\text{P})$ pour ($t=2$, $t'=0$). \\
Conclusion : les points E et F sont dans (S),  donc la droite ($\Delta$)
est entièrement contenue dans (S).
\end{itemize}
\medskip

La droite ($\Delta$) étant simultanément contenue dans les deux plans
(non confondus) est la droite d'intersection.
\end{enumerate}

(\emph{Remarque}: Les réponses  \textbf{a.~} et  \textbf{c.~} pouvaient
être éliminées de manière directe,  mais la réponse \textbf{b.~}
exclut aussi la réponse  \textbf{d.~}).



\subsection*{\textcolor{blue}{IV}~ \textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2013}}
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B(1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrons que les points A, B et C ne \textbf{\textcolor{red}{sont pas alignés}}. 

On a $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1)\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}
\begin{pmatrix}2\\-5\\-3\end{pmatrix}$.
On a : $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{-1}{-5}$. 

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas proportionnelles.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires : les points \textbf{\textcolor{red}{ne sont pas alignés}}. %\marginpar{0,5 pt}

\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		
On a  $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = 1\times 2+ (- 1)\times (-1) + (-1)\times 3 = 0$ et $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{u} = 2\times2+(-5)\times (-1)+(-3)\times 3 = 0$.

\noindent Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont orthogonaux à $\overrightarrow{u}$.
		
		La droite  $\Delta$ est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan  (ABC) : \textbf{\textcolor{red}{elle est orthogonale au plan (ABC)}}%\marginpar{0,5 pt}
			
		\item De ce qui précède, on déduit que $\overrightarrow{u}$ est un \textbf{\textcolor{red}{vecteur normal à (ABC)}}. 
		
Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\overrightarrow{\text{u}}\begin{pmatrix}2\-1\\3\end{pmatrix}$.

\noindent Le plan (ABC) passe par A.

\noindent Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme :
 $2\left(x-x_A\right) -\left( y-y_A\right) +3\left(z-z_A\right)  = 0$ donc $2x-(y-4)+3(z-1)=0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{2x-y+3z+1=0}}$.
		%\marginpar{0,5 pt}

		\item Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		
Comme la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et contient le point D $(7~;~- 1~;~4)$, une représentation paramétrique de $\Delta$ est :
		
\[\boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t+4
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}}}.\] %\marginpar{0,5 pt}
		
		\item Déterminons les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
		
Les coordonnées de H sont les solutions du système:
		
$\left\{\begin{array}{r c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4\\
2x-y+3z+1&=&0
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.
		
\bigskip
		 
$\left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&2t+7\\ 
	y &=&-t-1\\ 
	z &=& 3t + 4\\
	2x-y+3z+1&=&0
	\end{array}\right.
	\iff \left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&2t+7\\ 
	y &=&-t-1\\ 
	z &=& 3t + 4\\
	2(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)z+1&=&0
	\end{array}\right.
\\
	\iff 
	\left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&2t+7\\ 
	y &=&-t-1\\ 
	z &=& 3t + 4\\
	t&=&-2
	\end{array}\right.
	\iff \left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&3\\ 
	y &=&1\\ 
	z &=& -2\\
	t&=&-2
	\end{array}\right.$
		 
Le point H a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\text{H}(3;~~1;~~-2)}}$		 %\marginpar{1 pt}
	\end{enumerate} 
	
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
		
		Le plan $\mathcal{P}_{1}$  d'équation $x + y + z = 0$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
		
		Le plan $\mathcal{P_2}$  d'équation $x + 4y + 2 = 0$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$.
		
		Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas proportionnelles.
		Les vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; \textbf{\textcolor{red}{ils sont sécants}}.%\marginpar{0,5 pt}
		
		\item Vérifions que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}.\] 

\bigskip
Considérons le système:

$\left\{\begin{array}{r c l}
x+y+z &=&0\\ 
x+4y+2 &=& 0\\
y&=&y
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.

$\left\{\begin{array}{r c l}
x+y+z &=&0\\ 
x+4y+2 &=& 0\\
y&=&t
\end{array}\right.
\iff\left\{\begin{array}{r c l}
z &=&-x-y\\ 
x &=&-4t-2 0\\
y&=&t
\end{array}\right.
\iff\left\{\begin{array}{r c l}
z &=&3t+2\\ 
x &=&-4t-2 0\\
y&=&t
\end{array}\right.$
 		
 		On en déduit que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
\[\boxed{\textcolor{red}{\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}.}}\]%\marginpar{0,5 pt}
 		
		\item % La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
		
On déduit de la représentation paramétrique précédente que la droite $d$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u'}(-4~;~ 1~;~3)$.
		
Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)}}$. 
		
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}=0$. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u'}$  sont orthogonaux: \textbf{\textcolor{red}{la droite $d$ et le plan (ABC) sont parallèles}}. 		%\marginpar{0,5 pt}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{III (spécialité)}}
\emph{\textbf{\textcolor{blue}{Pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité}}}

%\bigskip
%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.\\Les probabilités seront arrondies au dix millième.}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

%\emph{Les questions de cette partie sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
	\item %Déterminer le reste dans la division euclidienne par $13$ de $100^{2015}$
	$100=7\times 13+9$ donc $100\equiv 9~[13]$.
	
	\noindent On en déduit que $100^2\equiv 9^2~[13]\equiv 81~[13]\equiv 3 [13]$ (car $81=6\times 13+3$)
	
	\noindent Alors $100^3\equiv 100^2\times 100~[13]\equiv 9\times 3~[13]\equiv 27~[13]\equiv 1~[13]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{100^3\equiv 1~[13]}}$.
	Or : $2015=3\times 671+2$.
	
	\noindent On en déduit : $100^{\numprint{2015}}=100^{3\times 671+2}=\left(100^3\right)^{671}\times 100^2$ donc $100^{\numprint{2015}}\equiv \left(100^3\right)^{671}\times 100^2~[13]\equiv 1^{671}\times 9~[13]$. Donc $\boxed{\textcolor{red}{1000{\numprint{2015}}\equiv 1~[13]}}$
	\item
		\begin{enumerate}
			\item %Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
			Un nombre impair d'écrit sous la forme $2p+1$, $p\in\mathbb{Z}$.
			
			\noindent Alors : $(2^+1)^2=4p2+4p+1=4p(p+1)+1$ ; $p$ ou $p+1$ est pair, donc $p(p+1)$ est un multiple de 2 donc $4p(p+1)$ est un multiple de 8. On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{(2p+1)^2\equiv 1~[8]}}$.
			
			\item %Montrer que tout nombre pair vérifie $x^2=0 [8]$ ou $x^2=4 [8]$.
			Soit $x$ un nombre pair. $x=2q$ avec $q\in\mathbb{Z}$.
			
			\noindent $x^2=4q^2$.
			
			\noindent On a deux cas : 
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $q$ est pair donc $q=r$ : alors $x^2=4q^2=4\times (2r)^2=4\times 4r^2=16r^2\equiv 0~[8]$.

\item $q$ est impair, donc $q=2r+1$ : alors $x^2=4q^2=4(2r+1)^2=4\left(4r^2+4r+1\right)=16r^2+16r+4~[8]\equiv 1~[8]$.
\end{enumerate}
On en déduit que $x^2\equiv 0~[8]$ ou $x^2\equiv 4~[8]$.

			\item %Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers impairs, déterminer le reste modulo $8$ de $A=a^2+b^2+c^2$.
			$a$, $b$ et $c$ sont impairs, donc $a^2\equiv 1~8]$, $b^2\equiv 1~8]$ et $c^2\equiv 1~8]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{A=a^2+b^2+c^2\equiv 3 [8]}}$.
			
			\item %De même, toujours si $a$, $b$ et $c$ sont impairs, déterminer le reste modulo $8$ de $B=2(ab+bc+ca)$. \emph{Indication :} développer $(a+b+c)^2$.
			$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$ donc $2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)$.
			
			Comme $a$, $b$ et $c$ sont impairs, $a+b+c$ est impair donc $(a+b+c)^2\equiv 1~[8]$.
			
			\noindent De même  $a^2\equiv 1~[8]$, $b^2\equiv 1~[8]$ et $c^2\equiv 1~[8]$ donc $a^2+b^2+c^2\equiv 3~[8]$.
			
			\noindent Alors $2(ab+bc+ac)\equiv 1-4~[8]\equiv 6~[8]$ : $\boxed{\textcolor{red}{B=2(ab+bc+ac)\equiv 6~[8]}}$.
			
			\item %En déduire que $A$ et $B$ ne sont pas des carrés.
			Le carré d'un nombre pair est congru à 0 ou 4 modulo 8, ce qui n'est le cas ni de A ni de B, donc A et B ne sont pa		s des carrés.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

%Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.
%
%L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.
%
%Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.
%
%On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement 
%\og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.
\begin{enumerate}
	\item %Traduire la situation par un arbre de probabilités.
	Arbre de probabilités :
	
	\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=20mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $\numprint{0,7}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\numprint{0,006}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\numprint{0,994}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $\numprint{0,3}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\numprint{0,05}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $\numprint{0,95}$}
}
}

	\item %Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
	D'après l'arbre ci-dessus $p\left(V \cap R\right)=\numprint{0,7}\times\numprint{0,006}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0042}}}$.

	\item %Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,0192$
	D'après l'arbre ci-dessus, la probabilité de l'évènement R est \[p(R)=p\left(V \cap R\right)+p\left(B \cap R\right)=\numprint{0,0042}+\numprint{0,3}\times\numprint{0,05}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0192}}}\]
	
	\item %Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
	On cherche à déterminer $p_R\big(B\big)$ :
\[p_{R}\big(B\big)=\dfrac{p\big(B\cap R\big)}{p\big(R\big)}=\dfrac{\numprint{0,3}\times\numprint{0,05}}{\numprint{0,0192}} = \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,78125}}}\]
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  