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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 5}}\end{center}
%\fbox{ \og{}La mathématique est une science dangereuse : elle dévoile les supercheries et les erreurs de calcul.\fg{} [Galilée]}


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2012}}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
On considère l'application $f$ du plan dans lui mÍme qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $\text{M'}$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.

On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.
%
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan  tels que $f(M) = M$.
$f(M)=M\Leftrightarrow z^2=z\Leftrightarrow z^2-z=0\Leftrightarrow z(z-1)=0\Leftrightarrow z\in\{0~;~1\}$. $\boxed{\textcolor{red}{\Gamma_1=\{O~;~\Omega\}}}$

\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}$.
  \begin{enumerate}
  \item %Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
  $a=\sqrt{2}(1-\mathrm{i})$ donc $|a|=\sqrt{2}|1-\mathrm{i}|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$.\\
  On en déduit $a=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}}}$.
  
  \item %En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
  On cherche les antécédents de $A$, c'est à dire les points d'affixe $z$ tels que $z^2=a$.\\
  Posons $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Alors $z^2=r^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\theta)}$.\\
  On doit avoir $r^2=2$ donc $r=\sqrt{2}$ (car $r>0$).\\
  $2\theta=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ donc $\theta=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi$.\\
  On prend $\theta=-\dfrac{\pi}{8}$ et $\theta=\dfrac{7\pi}{8}$.\\
  On trouve $z_1=\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi8}$ et $z_2=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}8}=-\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi8}=-z_1$.\\
  Les deux points ont pour affixe $\boxed{\textcolor{red}{z_1=\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi8}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{z_2=-z_1}}$.
  \end{enumerate}

\item %Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
On cherche $z$ tel que $z'\in\mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow z^2\in\mathrm{i}\mathbb{R}$.\\
On pose $z=x+\mathrm{i}y$ ; alors $z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy$.\\
$z^2\in\mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0\Leftrightarrow y=-x\text{ ou } y=x$.\\
\textcolor{red}{$\Gamma_2$ est la réunion des deux droites d'équation $y=-x$ et $y=x$.}

\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.
  \begin{enumerate}
  \item %¿ l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle    $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et    seulement si $z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = 0$ et $z \not= 1$.
%  L'écriture complexe de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est : \\
  On doit avoir $\left\vert \dfrac{z'-z_{\Omega}}{z-z_{\Omega}} \right\vert=1$ et $\arg\left(\dfrac{z'-z_{\Omega}}{z-z_{\Omega}}\right)=\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ donc $\dfrac{z'-z_{\Omega}}{z-z_{\Omega}}=\mathrm{i}$ d'où :
  
  $z'-z_{\Omega}=\mathrm{i}\left(z-z_{\Omega}\right)\Leftrightarrow z'-1=\mathrm{i}(z-1)\Leftrightarrow z'=\mathrm{i}(z-1)+1$. (avec $z\neq 1$, car $M\neq\Omega$)\\
  
  \noindent Or $z'=z^2$ donc $z^2=\mathrm{i}(z-1)+1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}=0}}$.
  
  \item %Montrer que $z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = (z-1)(z+1-\mathrm{i})$.
  Pour tout $z\in\mathbb{C}$, $(z-1)(z+1-\mathrm{i})=z^2+(1-\mathrm{i})z-z-1+\mathrm{i}=z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}$\\
  donc : $\boxed{\textcolor{red}{z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = (z-1)(z+1-\mathrm{i})}}$
  
  \item %En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
  $z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = (z-1)(z+1-\mathrm{i})=0\Leftrightarrow (z-1)(z+1-\mathrm{i})=0$.\\
  Dans $\mathbb{C}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
  Les solutions sont $z=1$ et $z=-1+\mathrm{i}$. Or $z\neq 1$ donc $\Gamma_3$ est constitué de l'unique point d'affixe $-1+\mathrm{i}$.
  
  \end{enumerate}

\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.
  \begin{enumerate}
  \item %Exprimer $\left ( \overrightarrow{OM\vphantom{'}},\overrightarrow{OM'}\right)$ en fonction    d'un argument de $z$.

Pour $z\neq0$ et $z\neq 1$,  $\left ( \overrightarrow{OM\vphantom{'}},\overrightarrow{OM'}\right)=\arg\left(\dfrac{z'}{z}\right)=\arg\left(\dfrac{z^2}{z}\right)=\arg(z)$.
  
  \item %En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de    $O$ et de $\Omega$ tels que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés.
  Les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si, $\left ( \overrightarrow{OM\vphantom{'}},\overrightarrow{OM'}\right)=0+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ donc $\arg(z)=k\pi$.\\
On en déduit que $\Gamma_4$ est l'axe des réels, privé des points de O et de $\Omega$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation du second degré à coefficients complexes}}
%Nous avons vu comment résoudre (dans $\mathbb{C}$) une équation du second degré à coefficients réels.\\
%Comment faire si l'équation est à coefficients complexes ?\\
%Voici la démarche expliquée sur un exemple.\\\\
On considère l'équation (E) : $\mathrm{i}z^2-2z+4\mathrm{i}+12=0$.
\begin{enumerate}
\item %En factorisant par $\mathrm{i}$, donner la forme canonique de $f(z)=\mathrm{i}z^2-2z+4\mathrm{i}+12$.
$f(z)=\mathrm{i}\left[z^2+2\mathrm{i}z+4-12\mathrm{i}\right]=\mathrm{i}\left[(z+\mathrm{i})^2-\mathrm{i}^2+4-12\mathrm{i}\right]=\mathrm{i}\left[(z+\mathrm{i})^2+5-12\mathrm{i}\right]=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{i}\left[(z+\mathrm{i})^2-(5-12\mathrm{i})\right]}}$.

\item %Pour pouvoir continuer la factorisation, on souhaite trouver un nombre complexe de la forme $a+\mathrm{i}b$, $a$ et $b$ réels, tel que $(a+\mathrm{i}b)^2=-5+12\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}
\item %Développer $(a+\mathrm{i}b)^2$ et en déduire que trouver les réels $a$ et $b$ tels que $(a+\mathrm{i}b)^2=-5+12\mathrm{i}$ équivaut à résoudre le système (S) $\left\{\begin{array}{l}a^2-b^2=-5\\2ab=12\end{array}\right.$
$(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2ab\mathrm{i}$.

\noindent Alors : 

$(a+\mathrm{i}b)^2=5-12\mathrm{i}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2-b^2=-5\\2ab=12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2-b^2=-5\\ab=6\end{cases}$.

\item %Résoudre ce système et en déduire un couple solution.
$\begin{cases}a^2-b^2=-5\\ab=6\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}b=\dfrac{6}{a}\\a^2-\left(\dfrac{6}{a}\right)^2=-5\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}b=\dfrac{6}{a}\\a^4+5a^2-36=0\end{cases}$.

\noindent L'équation $a^4+5a^2-36=0$ st une équation bicarrée ; on pose $A=a^2$.

\noindent $a^4+5a^2-36=0\Leftrightarrow \begin{cases}A=a^2\\A^2+5A-36=0\end{cases}$.

On résout : $A^2+5A-36=0$ ; $\Delta=169>0$ ; l'équation a deux solutions : $A_1=-9$ et $A_2=4$.

\noindent On résout alors : $a^2=A_1=-9$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ ; ;$a^2=A_2=4$ a deux solutions, -2 et 2.

\noindent Choisissons par exemple : $a=2$ ; on en déduit alors $b=3$.

\noindent Un nombre complexe vérifiant $(a+\mathrm{i}b)^2=-5+12\mathrm{i}$ est donc $2+3\mathrm{i}$.

\end{enumerate}

\item %En déduire une factorisation de la forme canonique, puis la résolution de l'équation (E).
On a alors : $f(z)=\mathrm{i}\left[(z+\mathrm{i})^2-(2+3\mathrm{i})^2\right]=\mathrm{i}(z+\mathrm{i}+2+3\mathrm{i})(z+\mathrm{i}-2-3\mathrm{i})=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{i}(z+2+4\mathrm{i})(z-2-2\mathrm{i})}}$

L'équation $f(z=0)$ s'écrit donc $\mathrm{i}(z+2+4\mathrm{i})(z-2-2\mathrm{i})=0$ qui a pour solutions :\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}={-2-4\mathrm{i}~;~2+2\mathrm{i}}}}\]

\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Quand boire sa tasse de café ?}}
On souhaite étudier la loi de refroidissement d'une tasse de café chaud.

On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20~\degre  C.\\ 
On note $f(t)$ la température (en \degre C) du café à l'instant $t$ (en min).\\
Ainsi, $f'(t)$ représente la vitesse de refroidissement à l'instant $t$ (ou taux de perte de chaleur).\\
La loi de refroidissement, énoncée par Sir Isaac Newton est : \og{} La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant \fg.\\ 
Ici, on estime que cette loi aboutit à la condition  (E) : \[\text{(E)} : f'(t) = -0,2 [f(t) - 20].\] 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(t)=k\mathrm{e}^{-0,2t}+20$, $k\in\mathbb{R}$.

%\noindent Montrer que $f$ vérifie la condition (E).
$f=ku$ donc $f'=ku'$ avec $u(t)=mathrm{e}^{-0,2t}+20$ et $u'(t)=-0,2\mathrm{e}^{-0,2t}$ d'où $f'(t)=-0,2k\mathrm{e}^{-0,2t}$.

\noindent Alors : $ -0,2 [f(t) - 20]=-0,2[k\mathrm{e}^{-0,2t}]=-0,2k\mathrm{e}^{-0,2t}$ donc $f$ vérifie bien la relation (E).

\noindent On admet que toutes les fonctions vérifiant cette relation (E) sont les fonctions $f$ définies par :\[f(t)=k\mathrm{e}^{-0,2t}+20,~k\in\mathbb{R}.\]


\item %Sachant qu'à l'instant $t = 0$, le café a une température initiale de 80 \degre C en le versant dans la tasse, vérifier que, au bout de $t$ minutes, la température du café est \[f(t) = 60\mathrm{e}^{-0,2t} + 20.\] 
$f(0)=80\Leftrightarrow k+20=80\Leftrightarrow k=60$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(t)=60\mathrm{e}^{-0,2t}+20}}$.

\item %Quelle est la température du café au bout de 5 minutes ? 
La température du café au bout de 5 minutes est $f(5)=60\mathrm{e}^{-1}+20\approx 42 $\degre.

\item %Vérifier que la température du café diminue au fil du temps, et indiquer la température \og{} limite\fg{} du café à long terme.
$f'(t)=60\times -0,2\mathrm{e}^{-0,2t}=-12\mathrm{e}^{-0,2t}<0$ donc la fonction est décroissante 

\item %Quelqu'un souhaite boire son café à une température de 40 \degre C. Combien de temps doit-il attendre ?
$f(t)=40\Leftrightarrow 60\mathrm{e}^{-0,2t}+20=40\Leftrightarrow 60\mathrm{e}^{-0,2t}=20\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-0,2t}=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow -0,2t=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\ln 3\Leftrightarrow t=\dfrac{-\ln 3}{-0,2}=\dfrac{\ln 3}{0,2}\\
\approx 5,493$ min, soit 5 min +$0,493\times 60$s $\approx$ \fbox{\textcolor{red}{5 min 30 s}}.

Il doit attendre 5 min 30 s pour pouvoir boire son café.
\end{enumerate}

\subsection{}%Amérique du Nord mai 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Restitution organisée des connaissances}}\\
%
%On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$.
%
%Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
\noindent On effectue un changement de variable, en possant $X=\ln(x)$ ; alors $x=\mathrm{e}^{X}$.\\
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $X$ tend aussi vers $+\infty$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}}=0$ d'après le rappel.\\

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%%
%On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = x -
%\frac{\ln(x)}{x}$. 
%
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
%orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~=\infty[]$ par $g(x) =  x^2  -1 + \ln(x)$.

%  Montrer que la fonction $g$ est positive sur $\intervalleA$.
$g$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[]$ comme somme de fonctions dérivables.\\
Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0$ (somme de nombres positifs).\\
$g$ est donc croissante sur $[1~;~+\infty[$.\\
$g(1)=0$.\\
Le tableau de variation de $g$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\pI\\
\filet
g'(x)&&+&\\
\filet
\m{g(x)}&0&\c&\\
\end{variations}
\end{center}
Le minimum de $g$ est 0, donc $g(x)$ est positif pour tout $x\in[1~;~+\infty[$.

\item
  \begin{enumerate}
  \item %Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleA$, $f'(x) =    \frac{g(x)}{x^2}$.
  $f$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$.\\
  Pour tout $x\in [1~;~+\infty[$, $f'(x)=1-\left[\dfrac{\frac1x\times x-\ln(x)}{x^2}\right]=1-\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}}$.
  
  \item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $\intervalleA$.
Comme $x^2>0$ sur $[1~;~+\infty[$,   $f'(x)$ est du signe de $g(x)$, donc positif sur $[1~;~+\infty[ $ avec $f'(1)=0$.

  \item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
  Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.\\
  D'après la partie A, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.\\
La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est donc asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.

  \item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à    la droite $\mathcal{D}$.
  Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}<0$ car $\ln(x)\geqslant 0$ et $x>0$.\\
  La courbe $\mathcal{C}$ est donc en dessous de son asymptote $\mathcal{D}$ (avec intersection en $x=1$).
  \end{enumerate}

\item %Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
  \begin{enumerate}
  \item %Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à    $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est    donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
  On a donc $M_kN_k=y_{N_k}-y_{M_k}=\dfrac{\ln(k)}{k}$.
  
  \item %Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$    supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit    inférieur ou égale à $10^{-2}$.
  L'algorithme est : 
  

\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     k EST_DU_TYPE NOMBRE
3   DEBUT_ALGORITHME
4     k PREND_LA_VALEUR 2
5     TANT_QUE (ln(k)/k>0.01) FAIRE
6       DEBUT_TANT_QUE
7       k PREND_LA_VALEUR k+1
8       FIN_TANT_QUE
9     AFFICHER k
10  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}

  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}%

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2012}}
%On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture graphique}}\\

%\noindent Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%¿ l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\
%
%\bigskip

Les solutions de l'équation $ (E) $ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir $2$. L'une comprise entre $-1$ et $0$, l'autre entre $0$ et $1$.

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \mathbb{R},x^2 + x^3 = x^2(1+x)$. Comme un carré est positif ou nul, $ x^2+x^3 $ est du signe de $ 1 + x $. 
\begin{itemize}
\item $ x^2+x^3=0 $ pour $x \in \left\lbrace -1~;~0 \right\rbrace $.
\item $ x^2+x^3 >0$ pour $ x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[$.
\item  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~ -1[$.
\end{itemize}

\item $x$ solution de $(E)\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) \Leftrightarrow x^2+x^3 = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3}$. Or, pour tout réel $x, \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3} >0$, alors que  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~-1[$. $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.

\item $ \mathrm{e}^{x} = 1 $  et $ 3 \times (0^2 + 0^3)=0 $. Donc $0$ n'est pas solution de (E).
\end{enumerate}

\item $\forall x \in ]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[, \begin{array}[t]{lcll}
(E) & \Leftrightarrow & \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) & \\
& \Leftrightarrow & \ln \mathrm{e}^{x} = \ln \left( 3\left(x^2+x^3\right)\right) & a=b \Leftrightarrow \ln a = \ln b \\
& \Leftrightarrow & x = \ln 3 + \ln \left( x^2\left( 1+x \right) \right) & \ln (ab) = \ln a + \ln b \\
& \Leftrightarrow 	& x = \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) & \\
& \Leftrightarrow 	&  \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) -x = 0 & \\
& \Leftrightarrow 	&  h(x) = 0 & \\
\end{array} $

\item 
\begin{enumerate}
\item $h$ est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc $h$ est bien dérivable sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$. 

Si $u>0$ sur un intervalle, alors $ \ln u $ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $ \dfrac{u'}{u} $.

Pour tout réel $x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[, h'(x) = 0 + \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2(x+1)+x-x(x+1)}{x(x+1)} $


On a bien : $h'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.$

\item Pour étudier le sens de variations de $h$, on étudie le signe de sa dérivée. 

Les numérateurs et dénominateurs sont des trinÙmes du second degré. 

Pour le dénominateur, les racines sont $0$ et $-1$, le coefficient dominant est $1>0$. Il est donc positif \og ‡ l'extérieur \fg{} des racines, négatif \og entre \fg{} les racines (voir le tableau).

Pour le numérateur, pas de racine évidente. On calcule donc le discriminant. On trouve : $ \Delta =12>0 $ et les deux racines sont $ x_1 = \dfrac{-2+2 \sqrt{3}}{-2} = 1-\sqrt{3} $ et $ x_2 = 1+\sqrt{3} $. Le coefficient dominant est $-1>0$, d'où	 le signe... 

%\begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
%\hline $x$ & $-1$  &  & $1-\sqrt{3}$ &  & $0$& & $ 1+\sqrt{3} $ & &$+\infty$\\ 
%\hline $-x^2+2x+2$ &   & $-$ & $0$ & & $+$ & &$0$  &$-$&\\ 
%\hline $x(x+1)$ & $0$ &   & $-$&   &$0$ & &$+$ & &\\ 
%\hline $h'(x)$ & $\mid\mid$ & $+$ & $0$ &$-$  &$\mid\mid$&$ + $ &$ 0 $ &$-$& \\ 
%\hline 
%\end{tabular}\end{center} 

Étude des limites aux bornes :

\begin{itemize}
\item Limite en $ -1 $

$ \left. \begin{array}{l}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3 - 1 \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad x^2  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln x^2   =  0  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad 1+x  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln (1+x)   =  -\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad h(x)  =  0  $

\item Limite en $ 0 $

$ \left. \begin{array}{l}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3  \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad x^2  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln x^2   =  -\infty  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad 1+x  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln (1+x)   =  0 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad h(x)  =  -\infty  $

\item Limite en $ +\infty $

$ \left. \begin{array}{r}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad \ln 3 -x   =  - \infty \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad x^2  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln x^2   =  +\infty  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln (1+x)   =  +\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \text{on a la F.I. }"+\infty - \infty"$

$ h(x) = \ln 3 +(x+1) \left( \dfrac{2 \ln x}{x+1} + \dfrac{\ln(1+x)}{x+1}-\dfrac{x}{x+1} \right)  $.

Or 

\begin{itemize}
\item $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+1}   = \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} = 1  $ 
\item $  \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad \dfrac{ \ln X }{X} & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad\dfrac{\ln(1+x)}{x+1}   =  0 $
\item Pour tout $x > 1, 0 \leqslant\dfrac{\ln x}{x + 1} < \dfrac{ \ln x}{x}  $. Par comparaison, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x} = 0 $ et le théorème des gendarmes assure que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x+1} = 0 $

Finalement avec des opérations élémentaires, on obtient enfin $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } h(x) = -\infty $.

Pour avoir le tableau de variations complet, il nous faut encore les signes de $ h\left(1-\sqrt{3}\right) <0 $ et $ h(1 + \sqrt{3})> 0 $ que l'on obtient avec la calculatrice. 

\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=3]
%{$x$ /1,$h'(x)$ /1,$h(x)$ /2}{$-1$,$1-\sqrt{3}$,$0$,$1+\sqrt{3}$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{d,+,z,-, d ,+,z,-,}
%\tkzTabVar{D-/$0$,+/$h(1-\sqrt{3})$,-D-/$-\infty$,+/$h(1+\sqrt{3})$,-/$-\infty$}
%%\tkzTabVal[draw]{2}{3}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
%\tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
%\tkzTabVal[draw]{4}{5}{.5}{$\alpha_2$}{$0$}
%\end{tikzpicture}
\begin{variations}
x&-1&&1-\sqrt{3}&&&0&&&1+\sqrt{3}&&\pI\\
\filet
-x^2+2x+2	&\bb&-&\z&+&&\l&&+&\z&-&\\
\filet
x(x+1)&\bb&-&\l&-&&\z&&+&\l&+&\\
\filet
h'(x)&\bb&+&\z&-&&\bb&&+&\z&-&\\
\filet
\m{h(x)}&\bb&\c&\h{\approx -0.11}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{\approx 1,7}&\d&\mI\\
\end{variations}
\end{center}
\end{itemize}
\end{itemize}

\item \begin{itemize}
\item Sur l'intervalle $ \left]-1 ~;~ 0\right[  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+;-) $, donc $ h(1-\sqrt{3}) $ est un maximum pour $h$ sur cet intervalle. Or $ h(1-\sqrt{3}) <0$ donc l'équation $ h(x) = 0 $ n'a pas de solution sur $ \left]-1~;~0\right[$. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.

\item Sur l'intervalle $ ]0 ~;~ 1+\sqrt{3}[ $ la fonction $h$ est dérivable, donc continue ; $0$ est compris entre $ \displaystyle \lim_{x \to 0 }h(x) $ et $ h\left(1+\sqrt{3}\right) $, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ h(x) = 0 $ admet donc au moins une solution sur $ \left[0~;~ 1+\sqrt{3} \right[$. Comme $h$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution $ \alpha_1 $ est unique.

La calculatrice donne : $ h(0,61) \approx -0,02 $ et $ h(0,62) \approx 0,24 $.

$0$ est donc compris entre $ h(0,61) $ et $ h(0,62) $, le raisonnement précédent assure donc que 

$ \alpha_1 \in [0,61~;~0,62 ] $. 

Une valeur approchée de $\alpha_1$, arrondie au centième est donc par exemple $ 0,61 $.

\item Comme $ h(1+\sqrt{3}) > 0 $, $0$ est aussi compris entre  $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty }h(x) $ et $ h\left(1 + \sqrt{3}\right) $. Le même raisonnement assure donc l'existence d'une autre solution dans cet intervalle. Voir le tableau.

Avec la calculatrice, on trouve $ 7,11 $ comme valeur approchée de $\alpha_2$, arrondie au centième.
\end{itemize}
\item La conjecture de la partie A est erronée. Il y a bien deux solutions mais pas dans les intervalles prévus !
\end{enumerate}
\end{enumerate}









%\end{multicols}
%


\label{fin}
\end{document}  