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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie mars 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A :} }

%\medskip
%
%On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par 
%
%\[P(z) = z^3 - \left(2 + \mathrm{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \mathrm{i}\sqrt{2}\right)z - 2\mathrm{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \mathrm{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$.
$P\left(\textcolor{blue}{\mathrm{i}\sqrt{2}} \right) =  \left(\textcolor{blue}{\mathrm{i}\sqrt{2}}\right)^3 - \left(2 + \mathrm{i}\sqrt{2}\right)\left(\textcolor{blue}{\mathrm{i}\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(1 + \mathrm{i}\sqrt{2}\right)\left(\textcolor{blue}{\mathrm{i}\sqrt{2}}\right) - 2\mathrm{i}\sqrt{2} =$

$ - 2\mathrm{i}\sqrt{2} + 4  + 2\mathrm{i}\sqrt{2}  + 2\mathrm{i}\sqrt{2} - 4 - 2\mathrm{i}\sqrt{2} = \boxed{\textcolor{red}{0}}$\\
$\mathrm{i}\sqrt{2}$  est solution dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \mathrm{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$.
Développons : $\left( z - \mathrm{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)\\
 = z^3 + az^2 + bz - z^2\mathrm{i}\sqrt{2} - az\mathrm{i}\sqrt{2} - b\mathrm{i}\sqrt{2} = z^3  + \left(a - \mathrm{i}\sqrt{2} \right)z^2 + \left(b - a\mathrm{i}\sqrt{2} \right)z  - b\mathrm{i}\sqrt{2}$.

Par identification avec l'énoncé, on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a - \mathrm{i}\sqrt{2}&=&-2 - \mathrm{i}\sqrt{2}\\
b - a\mathrm{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\mathrm{i}\sqrt{2}\\
-b\mathrm{i}\sqrt{2}&=&-2\mathrm{i}\sqrt{2}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a &=&-2 \\
b + 2\mathrm{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\mathrm{i}\sqrt{2}\\
-b&=&-2
\end{array}\right. \iff\left\{\begin{array}{l c l}
a &=&-2 \\
b&=&2\\
b&=&2
\end{array}\right.$

On a donc $\boxed{\textcolor{red}{P(z) = \left( z - \mathrm{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 - 2z + 2\right)}}$ 
		\item %En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
En utilisant la factorisation précédente : 

$P(z) = 0 \iff \left( z - \mathrm{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 - 2z + 2\right)$.

\noindent Un produit de facteurs dans $\C$ est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul :
$z - \mathrm{i}\sqrt{2}=0$ ou $z^2 - 2z + 2=0$

On retrouve la racine  $\mathrm{i}\sqrt{2}$
Pour $z^2 - 2z + 2=0$ : $\Delta=-4$.

\noindent Il y a donc deux solutions complexes conjuguées : $\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{4}}{2}=1-\mathrm{i}$ et $\overline{1-\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}$.

\noindent Les solutions sont donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{\mathrm{i}\sqrt{2}~;~1 + \mathrm{i}~;~ 1 - \mathrm{i}\}}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique.
% 
%On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : 
%
%\[z_{\text{A}}  = 1 + \mathrm{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \mathrm{i},\quad  z_{\text{J}} = \mathrm{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\mathrm{i}\pi}{4}}.\] 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à  mesure de l'exercice.
\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](1,1)(1,-1)(0,1.414)(1;135)(-1,-1)(-1,1)(-1.414,0)
\uput[ur](1,1){A}\uput[dr](1,-1){B}\uput[l](0,1.414){J}\uput[ul](1;135){K}
\uput[ul](-1,1){D}\uput[d](-1.414,0){L}\uput[dl](-1,-1){C}
\pspolygon(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à  $- \sqrt{2}$.

On a $z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\mathrm{i}\pi}{4}} = \cos \dfrac{3\pi}{4} + \mathrm{i}\sin \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

K est  le milieu du segment [JL], ce qui se traduit par $z_K=\dfrac{z_J+z_L}{2}$ d'où $z_L=2z_K-z_J=\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}=\sqrt{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{z_K=\sqrt{2}}}$

\item %Montrer que les points A, B,  J et L appartiennent à  un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1^2 + (- 1)^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{J}} \right|^2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{L}} \right|^2 =  \left(- \sqrt{2} \right)^2 = 2$.

On a donc OA = OB = OJ = OL $= \sqrt{2}$ : les points A, B,  J et L appartiennent à  un même cercle de centre O et le rayon $\sqrt{2}$.
\item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \mathrm{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$.
Un argument de $z_{\text{J}}$ est $\dfrac{\pi}{2}$ et un argument de $z_{\text{D}}$ est $\dfrac{3\pi}{4}$, donc l'angle de la rotation est $\dfrac{\pi}{4}$.		 
		\item %Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left\vert\dfrac{z_\text{C}-z_\text{O}}{z_\text{L}-z_\text{O}}\right\vert=\dfrac{\text{OC}}{\text{OL}}=1$ puisqu'une rotation conserve les longueurs.

\item $\arg\left(\dfrac{z_\text{C}-z_\text{O}}{z_\text{L}-z_\text{O}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$
\end{enumerate}
On en déduit que $\dfrac{z_\text{C}-z_\text{O}}{z_\text{L}-z_\text{O}}$ est un nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{4}$, soit $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}$, d'où le résultat.

\item On en déduit $z_C=z_L\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}=-\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-1-\mathrm{i}}}$
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
On a successivement :

O est milieu de [BD] et [AC], donc ABCD est un parallélogramme ;

$AC = BD = 2\sqrt{2}$, donc ABCD est un rectangle ;

(AC) et (BD) sont perpendiculaires, donc ABCD est un losange, donc finalement : ABCD est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.  
\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances}}


\medskip
 
Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
 
%Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.
$\left\vert z_1z_2\right\vert^2=z_1z_2\times \overline{z_1z_2}=z_1\overline{z_1}\times z_2\overline{z_2}=\left\vert z_1\right\vert^2\left\vert z_2\right\vert^2=\left(\left\vert z_1\right\vert\left\vert z_2\right\vert\right)^2$.

\noindent Comme $\left\vert z_1z_2\right\vert$ et $\left\vert z_1\right\vert\left\vert z_2\right\vert$ sont positifs, on en déduit $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$
\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière }}

\medskip
 %\medskip
% 
%Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.
% 
%Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: 
%
%\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] 
 
\begin{enumerate}
\item %Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe.
On a  $z_{\text{C}'} = \dfrac{1 - (- 2 + \text{i})}{\overline{- 2 + \text{i}} - 1} = \dfrac{3 - \text{i}}{3 + \text{i}} = \dfrac{( - 3 + \text{i})(3 - \text{i})}{(3 + \text{i}(3 - \text{i})} = \dfrac{-9 + 1 + 3\text{i} + 3\text{i}}{9 + 1} = \dfrac{8 + 6\text{i}}{10} =\boxed{\textcolor{red}{ - \dfrac{4}{5} + \text{i}\dfrac{3}{5}}}$.
		\item %Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
De $\left|z_{\text{C}'} \right|^2  = \left(\dfrac{4}{5} \right)^2 + \left(\dfrac{3}{5} \right)^2 = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$, on déduit que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.

$\left|z_{\text{C}'} \right| = \text{OC}' = 1$ ce qui montre que 	
	\item %Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	Calculons $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}'} - z_{\text{A}}} = \dfrac{- 2 + \text{i} - 1}{\frac{- 4 + 3\text{i}}{5 }- 1} = \dfrac{- 15 + 5\text{i}}{- 9 + 3\text{i}} = \dfrac{5( - 2 + \text{i})}{3( - 3 + \text{i})} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{5}{3} \in \mathbb{R}}}$.
	
Un argument de ce quotient est donc 0, soit $\left(\vect{\text{AC'}},~\vect{\text{AC}} \right) = 0 \pmod{\pi}$, ce qui signifie que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$.
Les points qui ont pour image le point A d'affixe 1 ont une affixe $z \neq 1$ telle que :

$z' = 1 =  \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}$.

En posant $z = x + \text{i}y$, l'équation précédente s'écrit :

$1 = \dfrac{1 - x - \text{i} y}{x - \text{i} y - 1} \iff x - \text{i} y - 1 = 1 - x - \text{i} y \iff 2x - 2 = 0 \iff x = 1$

Les points solutions ont donc pour affixe $z = 1 + \text{i} y$ avec $y \neq 0$ : ce sont les points de la droite $\Delta$ d'équation $x = 1$ privée du point A
\item %Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
On a pour $z \neq 1, \quad \left|z' \right|  = \left|\dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\right| = \dfrac{\left|1 - z \right|}{\left|\overline{z} - 1 \right|} = \dfrac{|1 - x - \text{i}|}{|x - \text{i}y - 1|} = \dfrac{\sqrt{(1 - x)^2 + y^2}}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}} = 1$.

On vient donc de démontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z \neq 1,\:$

$ \left|z' \right| = \text{O}M' = 1$.

Tous les points $M'$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\item %Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. 
Calculons pour $z \neq 1$,  le quotient $\dfrac{z' - 1}{z - 1} = \dfrac{\frac{1 - z}{\overline{z} - 1} - 1}{z - 1} = \dfrac{1 - z - \overline{z} + 1}{(z - 1)(\left(\overline{z} - 1 \right)}$.

Le numérateur : $1 - z - \overline{z} + 1 = 2 - \left(z + \overline{z}\right) = 2 - 2x \in \mathbb{R}$ ; 

Le dénominateur : $(z - 1)(\left(\overline{z} - 1 \right) = (z - 1)\overline{z - 1} = |z - 1|^2 \in \mathbb{R}_{+}$ (réel positif).
%Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$  ? 
Finalement $\dfrac{z' - 1}{z - 1} \in \mathbb{R}$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{\left(\overrightarrow{\text{AM}}~;~\overrightarrow{\text{AM'}}\right)=0~[\pi]}}$, ce qui signifie que les points A, $M$ et $M'$ sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.

\item %On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$.
D'après la question précédente, D$'$ est aligné avec A et D, donc 

- D$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ ;

- D$'$ est sur la droite (AD).

La construction est donc \textbf{\textcolor{red}{évidente}}. 
\end{enumerate}


\subsection{}%Polynésie mai 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
On considère l'algorithme suivant :\\
Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\underline{\textbf{Entrée}}\\
Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\noindent \underline{\textbf{Traitement}}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\noindent \underline{\textbf{Sortie}}\\
\noindent Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip
\noindent %Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?\\
$N$ vaut 3, donc $k$ varie de 0 à 2.\\
Les valeurs successives de $U$ sont, après la valeur initiale 0 :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3\times 0-2\times 0+3=3$ donc $U$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\item $3\times 3-2\times 1+3=10$ donc $U$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{10}}$.

\item $3\times 10-2\times 2+3=29$ donc $U$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{29}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

\noindent On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$u_1=3u_0-2\times 0+3=3$\\
$u_2=3u_1-2\times 1+3=10$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
Démontrons par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant  n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation :} $u_0=0\geqslant  0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$

\item \textbf{Hérédité} : on suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\geqslant  n$.\\
Alors $u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant  3n-2n+3\geqslant  n+3\geqslant n+1$ donc la propriété est vraie au rang $n+1$ ; elle est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant n$}}.

\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$ d'après le théorème des gendarmes.
\end{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3\geqslant 2n-2n+3=3\geqslant 0$ (car $u_n\geqslant n$ d'après la question précédente).\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1} - (n+1) +1=\left(3u_n-2n+3\right)-(n+1)+1=3u_n-3n+3=3\left(u_n-n+1\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{3v_n}}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=3v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $v_0=u_0-0+1=1$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0\times q^n=3^n$.\\
Alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=v_n+n-1=\boxed{\textcolor{red}{3^n+n-1}}$.
\end{enumerate}

\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item %Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?\\
Puisque la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$.

On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.

\item %Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
$u_{3p}=3^{3p}+3p-1=27^p+3p-1$.\\
$p>0$ (d'après l'énoncé) donc $p\geqslant 1$ ; par conséquent, $3p-1\geqslant 0$.\\
Alors : $27^p+3p-1\geqslant 27^p\geqslant 10^p$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{n_0\leqslant 3p}}$.

\item %Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
On sait d'après la question précédente, que $n_0\leqslant 3p=3\times 3=9$.\\
À la calculatrice, on trouve $u_6=3^6+6-1=734$ et $u_7=\numprint{2193}>10^3$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{n_0=7}}$.

\item %Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.

Un algorithme serait de la forme :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{Entrée} : Saisir le nombre entier naturel $n$

\item \emph{Traitement :}
\begin{itemize}
\item Affecter à $k$ la valeur 0

\item Tant que $3^k+k-1<10^p$

\item Affecter à $k$ la valeur $k+1$
\end{itemize}
Fin Tant que

\item \emph{Sortie :} Afficher la valeur de $k$
\end{enumerate}

\end{minipage}}
\end{center}
\textbf{Voici un algorithme avec Algobox :}
\begin{center}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     p EST_DU_TYPE NOMBRE
3     U EST_DU_TYPE NOMBRE
4     k EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     LIRE p
7     U PREND_LA_VALEUR 0
8     k PREND_LA_VALEUR 0
9     TANT_QUE (U<pow(10,p)) FAIRE
10      DEBUT_TANT_QUE
11      U PREND_LA_VALEUR 3*U-2*k+3
12      k PREND_LA_VALEUR k+1
13      FIN_TANT_QUE
14    AFFICHER k
15  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}

\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie novembre 2013
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 
$f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}$.
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Étude d'une fonction auxiliaire} }
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur 
		$[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = x^2\text{e}^x - 1$.
		 
%Étudier le sens de variation de la fonction $g$. 

Pour tout réel $x$ de $[0~;~ +\infty[$:
$\boxed{\textcolor{red}{g'\left(x\right)= \left(x^2+2x\right) \mathrm{e}^x >0}}$ sur $]0~;~ +\infty[$.

La fonction $g$ est strictement \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $[0~;~ +\infty[$.

		\item %Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à  $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
$g\left(0\right)=-1<0$ et $g\left(1\right)=\mathrm{e} - 1 >0$. Dressons le tableau de variations de $g$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*7{c}|}
\hline
x & 0 & \hspace*{1cm}   & \Rnode{A}{a} & \hspace*{1cm} & \Rnode{un}{1} & \hspace*{2cm}  &   +\infty  \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
%\hline
%f'\left(x\right) &    & \pmb{-}  & \vline\hspace{-2.7pt}0    & \pmb{+} &   \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 &  &  &    &  &      & & \Rnode{plusinf}{} \\ %\rule{0pt}{12pt} 
g\left(x\right)   &   &   &  &    &  & & \\ 
 & \Rnode{moins1}{-1} &   &  & & &  &    
 \ncline{->}{moins1}{plusinf}
 %\ncline{->}{moins5}{plusinf}
 \rput(-5,0.35){\fcolorbox{white}{white}{\Rnode{zero}{0}}}
 \rput(-3.1,0.55){\fcolorbox{white}{white}{\Rnode{E}{$\mathrm{e} - 1$}}}
 \ncline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{zero}{A}
  \ncline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{un}{E}
   \\ 
\hline
 
\end{array} $	
\end{center}	


D'après ce tableau de variations, l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[0\,; 1]$; on appelle $a$ cette solution.
		 
%Démontrer que $a$ appartient à  l'intervalle [0,703~;~0,704[. 

$g\left(0,703\right) \approx -0,0018 <0$ et $g\left(0,704\right) \approx 0,002  >0$ donc
$\boxed{\textcolor{red}{a \in [0,703\,; 0,704]}}$.

		\item %Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\begin{tabular}[t]{@{}ll}
D'après le tableau de variations de $g$: & \textbullet\ $g\left(x\right)<0$ sur $[0\,; a[$\\
 & \textbullet\ $g\left(x\right)>0$ sur $]a \,; +\infty[$
\end{tabular}		
		
		
	\end{enumerate} 
\item \textbf{\textcolor{blue}{Étude de la fonction } {\boldmath $f$}} 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\ \\[-22pt]

$\left. 
\begin{array}{r}
\lim_{x\rightarrow 0} \mathrm{e}^x=1\\[8pt]
\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}} \dfrac{1}{x}= +\infty
\end{array}
\right\rbrace  
\Longrightarrow
\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}  \mathrm{e}^x + \dfrac{1}{x}=+\infty
\Longrightarrow 
\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}  f\left(x\right)=+\infty}}$		

\medskip

$\left. 
\begin{array}{r}
\lim_{x\rightarrow +\infty} \mathrm{e}^x=+\infty\\
\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}=0
\end{array}
\right\rbrace  
\Longrightarrow
\lim_{x\rightarrow +\infty} \mathrm{e}^x + \dfrac{1}{x}=+\infty
\Longrightarrow 
\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty} f\left(x\right)=+\infty}}$		
		
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		 
%Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$. 

$f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x} \Longrightarrow f'\left(x\right)=\mathrm{e}^x -\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2\mathrm{e}^x-1}{x^2}=\dfrac{g\left(x\right)}{x^2}$

		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
Pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$, $x^2>0$ donc $f'\left(x\right)$ est du signe de $g\left(x\right)$. 	

On dresse le tableau de variation de $f$:


\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*6{c}|}
\hline
x & 0 & & \hspace*{1cm} & a & \hspace*{1cm} & +\infty \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
g\left(x\right) &  -1 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
f'\left(x\right) &  \vline\;\vline &  & \pmb{-}  & \vline\hspace{-2.7pt}0    & \pmb{+} &   \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 & \vline\;\vline & \Rnode{inf1}{+\infty} &  &    &  &   \Rnode{inf2}{+\infty} \\ %\rule{0pt}{12pt} 
f\left(x\right) &    \vline\;\vline & &   &  &    &  \\ 
 & \vline\;\vline &   &  & \Rnode{A}{f\left(a\right)} & &    
 \ncline{->}{inf1}{A} \ncline{->}{A}{inf2} \\ 
\hline
 
\end{array} $	
\end{center}	
	
		
		\item %Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel 
D'après son tableau de variation, la fonction $f$ admet le nombre $f\left(a\right)$ comme minimum sur son intervalle de définition.

$f\left(a\right)=\mathrm{e}^a+\dfrac{1}{a}$.
Or $a$ est la solution de l'équation $g\left(x\right)=0$ donc\\
$g\left(a\right)=0 \iff a^2\mathrm{e}^a-1=0 \iff a^2\mathrm{e}^a=1 \iff \mathrm{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$.

On en déduit que $f\left(a\right)=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$ et on a donc démontré que la fonction $f$ admettait pour minimum sur $]0~;~ +\infty[$ le nombre réel $\boxed{\textcolor{red}{m=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}}}$.		
		
		\item %Justifier que $3,43 < m < 3,45$.

%$m=\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a^2} = \dfrac{1}{a^2}\left(a+1\right)$

On a successivement(en valeurs approchées):

\begin{multicols}{2}
\renewcommand{\columnseprule}{0.5pt}

$\begin{array}{r @{\ <\ } c @{\ <\ } l}
0,703 & a & 0,704\\[5pt]
0,4942 & a^2 & 0,4957 \\[5pt]
\dfrac{1}{0,4957} & \dfrac{1}{a^2} & \dfrac{1}{0,4942}\\[10pt]
2,017 & \dfrac{1}{a^2} & 2,024
\end{array}$

\columnbreak

$\begin{array}{r @{\ <\ } c @{\ <\ } l}
0,703 & a & 0,704\\[5pt]
\dfrac{1}{0,704} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{0,703} \\[10pt]
1,420 & \dfrac{1}{a} & 1,423
\end{array}$

\end{multicols}		
		
donc par somme: $2,017 + 1,420 < \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a} < 2,024 + 1,423 $ et donc:

$\boxed{\textcolor{red}{3,43 < m < 3,45}}$
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  