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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/4}


\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

%
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2008}}
%Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit 
%
%\mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.
%
%%On appelle I le milieu de [AD].
%
%\bigskip

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,4)
%\pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF
%\psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH
%\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE
%\psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD
%\psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG
%\psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH
%\uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} 
%\uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} 
%\uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

%L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A ~;~\vect{\text{AB}}  ~;~ \vect{\text{AI}} ~;~ \vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.
\fbox{\textcolor{red}{F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 2 ; 1), H(0 ; 2 ; 1)}}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$.
Le volume V est égal à : $\dfrac{\mathcal{A}(\text{FGH)} \times \text{AE}}{3}$.

FGH est un triangle rectangle en G, donc $\mathcal{A}(\text{FGH}) = \dfrac{\text{FG} \times \text{GH}}{2} = \dfrac{2 \times 1}{2} = 1$ et comme AE = 1, V $ = \dfrac{1 \times 1}{3} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{3}}}$.	
		\item  %Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.
		On a I(0 ; 1 ; 0), $\overrightarrow{\text{FI}} = \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix},~\overrightarrow{\text{IH}}\begin{pmatrix}0\\~\\1\end{pmatrix}$.
		
		$\overrightarrow{\text{FI}} \cdot \overrightarrow{\text{IH}} = 0 + 1 - 1 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux donc (FI) et (IH) sont perpendiculaires en I.
				
    %En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan  (FIH).
\noindent En prenant comme base le triangle $FIH$, 

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{V= \dfrac{\mathcal{\text{FIH}}\times d}{3}}}$, $d$ étant la distance  du point G au plan  (FIH). Le triangle FIH étant rectangle en I, son aire est égale à $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\text{FI} \times \text{IH}}{2}}}$.

FI$^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \Rightarrow \text{FI} = \sqrt{3}$ ;

IH$^2 = 0 + 1 + 1 = 2 \Rightarrow \text{IH} = \sqrt{2}$.

$\mathcal{A}\left(\text{FIH}\right) = \dfrac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\sqrt{6}}{2}}}$.

En reprenant l'écriture de V :  

$\dfrac{1}{3} =  \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{6}}{2} \times d \iff d= \dfrac{2}{\sqrt{6}} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\sqrt{6}}{3}}}$.
    	\end{enumerate}
\item %Soit  le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(2 ~;~ 1 ~;~ - 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (FIH).
	On calcule :
	
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{FI}} = - 2 + 1 + 1 = 0.$

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{IH}} = 0 + 1 - 1 = 0.$

$\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (FIH) est orthogonal à ce plan.
		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).
Une équation du plan (FIH) est donc de la forme : $2x + 1y - 1z + d' = 0$.

Comme F $\in$ (FIH) ses coordonnées vérifient l'équation ci-dessus soit :

$0 + 1 - 0 + d' = 0 \iff d' = -1$.

Une équation du plan (FIH) est donc :
$\boxed{\textcolor{red}{2x + 1y - 1z -1= 0}}$

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIH}) \iff 2x + y - z - 1 = 0\]
		\item %Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH).
		On sait que la distance $d$ de G au plan (FIH) est : $\dfrac{|2x_{\text{G}} + y_{\text{G}} - z_{\text{G}} - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{|2 + 2 - 1 - 1|}{\sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}}\\
		 = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}}$.
		 
		 \noindent On retrouve la m\^eme valeur qu' au \textbf{2. b.}
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?
(AG) est perpendiculaire au plan (FIH) si et seulement si $\overrightarrow{\text{AG}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}$. Or $\overrightarrow{\text{AG}}(1~;~2~;~1)$ qui n'est manifestement pas colinéaire à $\overrightarrow{n}$.
		\item  %Donner un système d'équations paramétriques de cette droite.
$M(x~;~;y~;~z) \in (\text{AG}) \iff \overrightarrow{\text{A}M} = \alpha \overrightarrow{\text{AG}}$ qui se traduit par :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AG}) \iff \left\{\begin{array}{l cl}
x&=&t\\ y&=&2t\\z&=&t
\end{array}\right.$
		\item  %Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH).
		Il faut résoudre le système :
		
$\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&t\\ y&=&2t\\z&=&t\\2x + y - z - 1 &=& 0
\end{array}\right.\\
\Rightarrow 2t + 2t - t - 1 = 0 \iff 3t = 1 \iff t = \dfrac{1}{3}$

\noindent Les coordonnées de K sont donc $\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)}}$.
	\end{enumerate}
\item  %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, mÍme incomplète, ou d'initiative mÍme infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}

%Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K.

%Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ?

%(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)

Le rayon de la sphère est GK.

Or GK$^2 = \dfrac{4}{9} + \dfrac{16}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{9} \Rightarrow \text{GK} = \sqrt{\dfrac{24}{9}} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}}$.

Or la distance $d$ de G au plan (FIH) est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ; elle est donc inférieure au rayon de la sphère et par conséquent la section de la sphère par le plan (FIH) est un \textbf{\textcolor{red}{cercle}}.
\end{enumerate}
\subsection{}
%http://www.ilemaths.net/sujet-exercice-terminale-s-fonction-asymptote-515799.html
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \dfrac{(x-1)^3}{x^2}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan. 


\begin{enumerate}
\item %Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que pour tout réel $x$ non nul : 
%\[f(x) = ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2}.\] 
$(x-1)^3=(x-1)(x-1)^2=(x-1)\left(x^2-2x+1\right)\\
=x^3-2x^2+x-x^2+2x-1=\boxed{\textcolor{red}{x^3-3x^2+3x-1}}$.

Pour tout $x\neq 0$, $ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2}=\frac{(a x^{3}+b x^{2}+c x+d)}{x^{2}}$.

\noindent Par identification des coefficients, on trouve  :

\noindent $a=1$, $b=-3$, $c=3$ et $d=-1$

\noindent d'où $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=x-3+\dfrac{3x-1}{x^2}}}$

\item %Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 
\textbf{\textcolor{blue}{Étude des limites}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item en $-\infty$ : 

\noindent $\dfrac{3x-1}{x^2}=\dfrac{x\left(3-\frac1x\right)}{x^2}=\dfrac{3-\frac1x}{x}$ donc \\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{3x-1}{x^2}\right)=0$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x-3)=-\infty$.

\noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$

\item En $+\infty$ : 

\noindent De même : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3x-1}{x^2}\right)=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-3)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item En 0 :

\noindent $\lim_{x\rightarrow 0}(x-1)^3=-1$ ; $\lim_{x\rightarrow 0}x^2=0$ avec $x^2>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-\infty}}$.
\end{enumerate}

\item %Montrer que $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote verticale $\mathscr{D}$ et une asymptote oblique $\mathscr{D}'$ dont on précisera des équations.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-\infty$ donc $\mathscr{C}$ a pour asymptote la droite $\mathscr{D}$ d'équation $x=0$ (axe des ordonnées).

\item Pour tout $x\neq 0$, $f(x)-(x-3)=\dfrac{3x-1}{x^2}$ et on a vu que $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{3x-1}{x^2}\right)=0$ donc la droite $\mathscr{D}'$ d'équation $y=x-3$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à $\mathscr{C}$ au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$.
\end{enumerate}

\item %Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{D}'$.
$\forall x\neq 0$, $f(x)-(x-3)=\dfrac{3x-1}{x^2}$ qui est du signe de $3x-1$, donc négatif pour $x\leqslant \dfrac{1}{3}$ et positif pour $x\geqslant \dfrac{1}{3}$.

\noindent On en déduit que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\mathscr{D}'$ sur $]-\infty~;~0[$ et sur $\left]0~;~\dfrac{1}{3}\right[$ et en dessous sur $\left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$

\item %Montrer que pour tout réel $x$ non nul, \[f'(x) = \dfrac{x(x-1)^2(x+2)}{x^4}.\]
On peut voir $f$ comme $\dfrac{u^3}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=x-1\\v(x)=x^2\end{array}\right.$

\noindent $f'=\left(\dfrac{u^3}{v}\right)'=\dfrac{\left(u^3\right)'v-u^3v'}{v^2}=\dfrac{3u'u^2v-u^3v'}{v^2}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=1\\v'(x)=2x\end{array}\right.$
 
 Alors : $f'(x)=\dfrac{3\times 1(x-1)^2x^2-2x(x-1)^3}{x^4}=\dfrac{x(x-1)^2(3x-2(x-1))}{x^4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x(x-1)^2(x+2)}{x^4}}}$.
 
%\noindent En déduire les variations de $f$.
$x^4>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x(x-1)^2(x+2)$ qui s'annule en -2, 0 et 1 avec $(x-1)^2\geqslant 0$. 


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}

\end{center}\begin{variations}
x&\mI&&-2&&&0&&&\pI\\
\hline
x&&-&\l&-&&\bb&&+\\
\hline
x+2&&-&\z&+&&\bb&&+&\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-\dfrac{27}{4}}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}

\noindent 
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $f'(1)=0$ donc la courbe admet en 1 ne tangente horizontale.

\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$, parallèle à $\mathscr{D}'$. 
$\mathscr{D'}$ a pour coefficient directeur le nombre 1.
On résout l'équation $f'(x)=1$.

\noindent $f'(x)=1\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x^3}=1\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)=x^3\Leftrightarrow \left(x^2-2x+1\right)(x+2)=x^3-3x+2=x^3\Leftrightarrow -3x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$.

\noindent L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}$ en $\dfrac{2}{3}$ est $y=f'\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+f\left(\dfrac{2}{3}\right)$, donc $y=x-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{12}$	 soit $\boxed{\textcolor{red}{y=x-\dfrac{3}{4}}}$

\item %Représenter sur un même graphique $T$, $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$. 
Graphique :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.,-16.)(10.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-10.,-16.)(10.,8.)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1pt](-10.,-16.)(10.,8.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-10.0}{10.0}{(x-1.0)^(3.0)/x^(2.0)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-10.0}{10.0}{x-3.0}
\psplot[linewidth=2pt,linestyle=dashed,plotpoints=200]{-10.0}{10.0}{2*x/3-3/4}

\begin{scriptsize}
\rput[bl](-13.289686146000015,-16.972367578933337){\qqwuqq{$f$}}
\rput[bl](-13.693905750171444,-16.972367578933337){\blue{$g$}}
\psplotTangent [arrows=<->]{-2}{1}{(x-1)^3/x^2}
\psplotTangent [arrows=<->]{1}{1}{(x-1)^3/x^2}

\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Soit $D_{\lambda}$ la droite d'équation $y = x+\lambda$ où  $\lambda$ est un paramètre réel.
%
%\noindent Préciser le nombre de points d'intersection de $D_{\lambda}$ et $\mathscr{C}$ suivant les valeurs de  $\lambda$. 
$D_{\lambda}$ a pour coefficient directeur 1, donc est parallèle à $\mathscr{D}'$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $\lambda<-3$, $\mathscr{D}_{\lambda}$ coupe $\mathscr{C}$ en deux points.

\item Pour $\lambda=-3$, $\mathscr{D}_{\lambda}$ coupe $\mathscr{C}$ en un seul point, puisque c'est l'asymptote à la courbe zr on a vu à la question 4. qu'elles ne se coupaient qu'en $x=\dfrac{1}{3}$.


\item Pour $-3\leqslant \lambda<-\dfrac{3}{4}$, $\mathscr{D}_{\lambda}$ coupe $\mathscr{C}$ en deux points.

\item Pour $\lambda=-\dfrac{3}{4}$, $\mathscr{D}_{\lambda}$ coupe $\mathscr{C}$ en deux points (dont le point de tangence $\mathscr{C}$).

\item Pour $\lambda>-\dfrac{3}{4}$, il y a un seul point d'intersection entre $\mathscr{D}_{\lambda}$ et $\mathscr{C}$.

\end{enumerate}

\noindent 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3}{2}x^2+4x$.

\begin{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}
\item %Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
$f$ est dérivable comme fonction polynôme sur $\mathbb{R}$.

\noindent $\forall x\in\mathbb{R}$, $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=x^3-3x+4}}$.

\item %Calculer la dérivée seconde $f''$ de $f'$.
$f'$ est elle-même une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

\noindent $\forall x\in\mathbb{R}$, $f''(x)=3x^2-3\\
=3\left(x^2-1\right)=\boxed{\textcolor{red}{3(x+1)(x-1)}}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les variations de la fonction $f'$.
$f''(x)$ est un trinôme du second degré, dont les racines sont -1 et 1. le coefficient de $x^2$ est 3 donc $f''(x)$ est positif (du signe de 3) en dehors des racines et négatif entre les racines.

\noindent On en déduit que $f'$ est croissante sur $]-\infty~;~-1]$ et sur $[1~;~=\infty[$ et décroissante sur [-1~;~1].

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f'$.
\noindent $f'(x)=x^3\left(1-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{4}{x^3}\right)$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^3+\dfrac{4}{x^3}\right)=1$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f'(x)=-\infty}}$.

\noindent De même (mêmes calculs), on a : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow =\infty}f'(x)=+\infty}}$

\noindent \textbf{Tableau de variation de $\boldmath{f'}$} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
f''(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{6}&\d&2&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\bigskip

\noindent %Prouver que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ et que cette solution appartient à l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
D'après le tableau de variation, il est clair que $f'(x)>0$ sur $[1~;~+\infty[$.

\noindent Sur $]-\infty~;~-1]$, $f'$ est continue, \\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}f'(x)=-\infty$ et $f'(-1)=6>0$, donc, d'après le \textbf{\textcolor{blue}{théorème des valeurs intermédiaires}}, m'équation \\
$f'(x)=0$ admet un solution dans l'intervalle $]-\infty~;~-1]$ ; comme $f'$ est croissante sur cet intervalle, la slutio n est unique ; on la note $\alpha$.

\item %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{-2,20<\alpha<-2,19}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le signe de la fonction $f'$.
$f'(x)<0$ pour $x<\alpha$, $f'(\alpha)=0$ et $f'((x)>0$ pour $x>\alpha$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Résumé}} : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
Pour tout $x\neq 0$, $f(x)=x^4\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{}2x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{}2x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)=\dfrac{1}{4}$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}x^4=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=+\infty}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha(4-\alpha)}{4}$.
par définition, $\alpha^3=3\alpha-4$.

\noindent Alors : $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^4-6\alpha^2+16\alpha}{4}=\dfrac{\alpha\left(\alpha^3-6\alpha+16\right)}{4}\\
=\dfrac{\alpha\left(3\alpha-4-6\alpha=16\right)}{4}=\dfrac{\alpha\left(-3\alpha+12\right)}{4}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3\alpha(4-\alpha)}{4}}}$.

\item %Déterminer le nombre de racines du polynôme $f$ .
On a vu que $\alpha\approx -2,2$, donc \\
$f(\alpha)\approx \dfrac{3\times (-2,2)\times 4+2,2}{4}\approx \boxed{\textcolor{red}{-10,23<0}}$.

\noindent Sur $]-\infty~;~\alpha]$, $f$ est continue, $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ et $f(\alpha)<0$, donc, d'après le \textbf{\textcolor{blue}{théorème des valeurs intermédiaires}}, m'équation $f(x)=0$ admet une solution (unique puisque $f$ est décroissante sur cet intervalle).

\noindent On montre de même que $f(x)=0$ a une solution unique sur $[\alpha~;~+\infty[$.

\noindent Le polynôme a donc deux racines (dont 0 qui est une racine évidente).
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2013}}
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par
  		 
$u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}$

\medskip

 
\textbf{PARTIE A} %\section{partie A}

 
%On considère l'algorithme suivant :


{\small
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\ 
&$U, V, W$ sont des réels\\ 
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à  $K$\\ 
&Affecter 2 à  $U$ \\
&Affecter 10 à  $V$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\begin{tabular}{l|l}
\hspace{0,3cm} & Affecter $K + 1$ à  $K$ \\
\hspace{0,3cm} & Affecter $U$ à  $W$ \\ 
\hspace{0,3cm} & Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à  $U$ \rule[-10pt]{0pt}{28pt} \\
\hspace{0,3cm} & Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$ à  $V$ \\[5pt]  
\end{tabular}\\
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\ 
\textbf{Fin}&\\ 
\hline
\end{tabular}
}

 
\vspace*{1.2cm} 
 
\begin{center}
\'Etat des variables: 

\vspace*{0.5cm} 
 
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0& --- & 2 & 10\\ \hline 
1& 2 & $14/3$ & 8\\ \hline
2& $14/3$ & $52/9$ & $43/6$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\textbf{PARTIE  B} %\section{partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$. 
Pour tout entier naturel $n$,

$v_{n+1}-u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} = \dfrac{3\left(u_n+3v_n\right)}{12} - \dfrac{4\left(2u_n+v_n\right)}{12}{v_{n+1}-u_{n+1}} \\
=\dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12} = \dfrac{5v_n-5u_n}{12} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{5}{12}\left(v_n-u_n\right)}}$

		
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
%Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
D'après la question précédente, on peut dire que la suite $\left(w_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $w_0=v_0-u_0=10-2=8$.

D'après le cours (forme explicite d'une suite géométrique) on peut dire que, pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n}}$.

	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 

$u_{n+1}-u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3}-\dfrac{3u_n}{3}= \dfrac{2u_n+v_n-3u_n}{3}=\dfrac{v_n-u_n}{3}=\dfrac{w_n}{3}$

On a vu que, pour tout $n$, $w_n=8\left(\dfrac{5}{12}\right)^n$; on peut en déduire que pour tout $n$, $w_n>0$ et donc que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n>0$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\smallskip

$v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{4v_n}{4}= \dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4}\\
 =\dfrac{u_n-v_n}{4}=\dfrac{-w_n}{4}$

Et comme $w_n>0$, on peut dire que $v_{n+1}-v_n<0$ pour tout $n$.

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

		\item %Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. 
On a vu que, pour tout $n$, $w_n>0$; donc, pour tout $n$, $v_n-u_n>0$ c'est-à -dire $v_n>u_n$.

La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante donc, pour tout $n$, $v_n \leqslant  v_0 \iff v_n \leqslant  10$.

Pour tout entier naturel $n$,\\
$\left. 
\begin{array}{r}
v_n >u_n\\
v_n \leqslant( 10
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
u_n \leqslant( 10$.

\smallskip

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante donc pour tout $n$, $u_n \geqslant( u_0 \iff u_n \geqslant( 2$.

Pour tout entier naturel $n$,\\
$\left. 
\begin{array}{r}
v_n >u_n\\
u_n \geqslant( 2
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
v_n \geqslant( 2$.
		
		\item %En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
La suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante et majorée}} par 10 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers un réel $\ell_u$.

La suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante et minorée}} par 2 donc, d'après ce même théorème, la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers un réel $\ell_v$.
				
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la màªme limite.

La suite $\left(w_n\right)$, définie par $w_n=v_n-u_n$, est convergente comme différence de deux suites convergentes, et sa limite est égale à  $\ell_v - \ell_u$.

Or la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et $-1 < \dfrac{5}{12} < 1$; donc on peut dire que la suite $\left(w_n\right)$ est convergente vers 0.

La limite d'une suite est unique donc $\ell_v - \ell_u = 0$ et donc $\ell_v=\ell_u$; les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ont donc la màªme limite qu'on appelle $\ell$.
 
\item %Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. 
$t_{n+1}=3u_{n+1}+4v_{n+1} = 3\times\dfrac{2u_n+v_n}{3}+4\times\dfrac{u_n+3v_n}{4}=2u_n+v_n+u_n+3v_n \\[5pt]
\phantom{t_{n+1}} = 3u_n+4v_n=t_n$
donc la suite $\left(t_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{constante}}.

$t_0=3u_0+4v_0= 3\times 2+4\times 10=6+40=\boxed{\textcolor{red}{46}}$

Comme la suite $\left(t_n\right)$ est constante, pour tout $n$, $t_n=t_0=46$; la suite $\left(t_n\right)$ est donc convergente vers 46.

Les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont toutes les deux convergentes vers $\ell$ donc la suite $\left(t_n\right)$ définie par $t_n=3u_n+4v_n$ est convergente vers $3\ell + 4\ell = \boxed{\textcolor{red}{7\ell}}$.

La limite d'une suite est unique donc $7\ell = 46 \iff \ell= \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{46}{7}}}$.

La limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est donc $\dfrac{46}{7}$. 


\end{enumerate}
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  