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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille\no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]
C'est une somme de $n$ termes, puisque les termes vont de $2\times 1-1$ à $2n-1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{initialisation}} : pour $n=1$, la somme $S_1$ vaut 1 et $1^2=1$ donc $S_1=1^2$ ; la propriété est vraie pour le rang $n=1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc $S_n=n^2$.

\noindent Alors : $S_{n+1}=S_n+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2$ donc la propriété st héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ construite ainsi :

\noindent $u_1=0,1$~;~$u_2=0,12$~;~$u_3=0,123$, $u_4=0,1234$~;~\dots ~;~

\noindent $u_{10}=\numprint{0,12345678910}$~;~etc.

\noindent $u_n$ est obtenu en mettant bout à bout après la virgule les écritures décimales des entiers de 1 à $n$.
\begin{enumerate}
\item 
%Quel serait le nombre $u_{11}$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{u_{11}=\numprint{0,1234567891011}}}$.

\item %Expliquer pourquoi cette suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Cette suite est clairement \textbf{\textcolor{red}{croissante}} et \textbf{\textcolor{red}{majorée}}, par exemple par 1  elle est donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}}.

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque }}: La limite s'appelle \textbf{\textcolor{red}{nombre de Champernowne}}

\noindent Pour en savoir davantage sur cette suite, voir par exemple \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Champernowne}{ici}
\end{enumerate}

\subsection{}
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses ; justifier ou donner un contre-exemple.

\noindent $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont des suites réelles.
\begin{enumerate}
\item 
On suppose que $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont des suites à termes positifs et que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n+v_n\right)=+\infty$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} car, $u_n+v_n\geqslant u_n$ (théorème des gendarmes ou théorème de comparaison).

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Attention}}, il n'est pas dit dans l'énoncé que la suite $\left(v_n\right)$ converge !

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$, si $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$ et si $v_n>u_n$ à partir d'un certain rang, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=0$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{FAUX}} ;; prenons par exemple $u_n=n$ et 

\noindent $v_n=n+1$ ; alors  $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)=1\neq 0}}$.

\item On suppose que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1$. Alors, les termes $u_n$ sont tous positifs à partir d'un certain rang.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : Considérons l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right[$, centré sur 1.

\noindent Puisque la suite converge vers 1, il existe $p$ tel que, pour tout $n\geqslant p$, $u_n\in\left]\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right[$. Les termes sont donc tous positifs  partir de $n=p$.

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n-v_n\right)=0$, alors $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ convergent toutes deux et ce vers la même limite.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{FAUX}} ; il suffit de prendre $u_n=v_n=n$ ; alors $u_n-v_n=0$ pour tout $n$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n-v_n\right)=0$ mais les deux suites divergent.
\end{enumerate}



\subsection{}
Répondre par VRAI ou FAUX aux questions suivantes en  justifiant .

\noindent On considère la suite  $\left(u_n\right)$  définie par  $u_0=0$, $u_1=1$  et, pour tout  $n$   de  $\mathbb{N}$ , $u_{n+2}=\dfrac{1}{3}u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n$.

\noindent On définit les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel  $n$   par  $v_n=u_{n+1}-u_n$ et $w_n=u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n$.

\begin{enumerate}
\item %La suite $\left(v_n\right)$  est arithmétique.
$\forall n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}\\
=\dfrac{1}{3}u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n-u_{n+1}=-\dfrac{2}{3}u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n\\
=-\dfrac{2}{3}\left(u_{n+1}-u_n\right)=-\dfrac{2}{3}v_n$.

\noindent La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique et non arithmétique, donc \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}

\item %La suite  $\left(w_n\right)$  est constante.
$\forall n\in\mathbb{N}$, $w_{n+1}=u_{n+2}+\dfrac{2}{3}u_{n+1}\\
=\dfrac{1}{3}u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{2}{3}u_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n=w_n$.

\noindent La suite $\left(w_n\right)$ est bien constante : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

\item %Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a : $u_n=\dfrac{3}{5}\left(w_n-v_n\right)$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_{n+1}-v_{n+1}\\
=u_{n+2}+\dfrac{2}{3}u_{n+1}-\left(u_{n+2}-u_{n+1}\right)=\dfrac{5}{3}u_{n+1}$ donc $u_{n+1}=\dfrac{3}{5}w_{n+1}$. Comme c'est vrai aussi pour \\
$n=0$, pour tout $n$, on a $u_n=\dfrac{3}{5}\left(w_n-u_n\right)$ donc \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}.

\item %La suite  $\left(u_n\right)$  n’a pas de limite finie.   
\noindent Pour tout $n$, $w_n=w_0=1$ (suite constante).

\noindent $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $-\dfrac{2}{3}$ donc, pour tout $n$, $v_n=v_0\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)^n$ avec $v_0=1$ donc \\
$v_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n$.

\noindent Alors, pour tout $n$ : $u_n=\dfrac{3}{5}\left(w_n-v_n\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}\left(1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n\right)}}$.

\noindent $-1<-\dfrac{2}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\dfrac{3}{5}}}$ donc \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

$u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,\\
u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.$
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 

\noindent $u_2=u_1-\dfrac{1}{4}u_0=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.

\noindent $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}$ et $u_1-u_0=\dfrac{3}{2}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

\noindent $\dfrac{u_1}{u_0}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\frac34}{\frac12}=\dfrac{3}{2}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.

\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.$
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_{0}$.
		$v_0=u_1-\dfrac{1}{2}u_0=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$.
		 
		\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac{1}{2}u_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{2}u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n=\dfrac{1}{2}\left(u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}v_n}}$.
		
		\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
		
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}}$
	\end{enumerate} 
	
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 
%voir http://www2.ac-lyon.fr/lyc01/cotiere/IMG/pdf/Correction_DS1-2012.pdf
\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $w_{0}$. 
		$w_0=\dfrac{u_0}{v_0}=-1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{w_0=-1}}$.
		
		\item %En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\\
		=\dfrac{v_n+\frac12u_n}{\frac12v_n}=\dfrac{v_n}{\frac12v_n}+\dfrac{u_n}{v_n}=\boxed{\textcolor{red}{2+\dfrac{u_n}{v_n}}}$.
		
		\item %En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},\\ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 
		On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, 
		
		\noindent $\boxed{\textcolor{red}{w_{n+1}=w_n+2}}$.
		
		\item %Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
		On en déduit que la suite $\left(w_n\right)$ est arithmétique de raison $r=2$.
		
		\noindent Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_n=w_0+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{w_n=2n-1}}$.
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$

%\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=v_n\times w_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (2n-1)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2n-1}{2^n}}}$
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}.\] 
 
Démontrons par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation :}} Pour $n=$, $S_0=u_0=-1$ et $2-\dfrac{2n+3}{2^n}=2-\dfrac{3}{1}=2-3=-1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un  rang $n$ quelconque, donc $S_n=\dfrac{2n+3}{2^n}$.

\noindent Alors $S_{n+1}=S_n=u_{n+1}=2-\dfrac{2n+3}{2^n}+\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}=2-\dfrac{2n+3}{2^n}+\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}\\
=2-\dfrac{2(2n+3)-(2n+1]}{2^{n+1}}=2-\dfrac{2n+5}{2^{n+1}}\\
=2-\dfrac{2(n+1)+3}{2^{n+1}}$.

\noindent La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$, donc $\boxed{\textcolor{red}{S_n=2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Légende de l'échiquier}}
%Selon une légende, un roi demanda à l’homme qui
%a créé le jeu d’échecs : \og{}Que voulez-vous comme
%récompense pour votre invention ?\fg{} L’homme
%réfléchit un instant, puis répondit : \og{}Mon roi,
%donnez-moi un grain de blé sur la première case,
%deux grains sur la deuxième case, quatre sur la
%troisième case, huit sur la quatrième et ainsi de
%suite jusqu’à ce que toutes les cases du jeu soit
%rempli.\fg{}.
Notons : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item N : nombre de grains de blé placés sur l'échiquier

\item m : masse d'un grain de blé

\item M : masse de la production mondiale annuelle

\item v : volume d'un grain de blé

\item V : volume total occupé par tous les grains de blé placés sur l'échiquier

\item h : hauteur du silo servant à les entreposer.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre exact de grains de blé qu'il faudrait mettre sur échiquier, puis en donner une approximation.
$N=1+2+2^2+\cdots+2^{63}=\dfrac{2^{64}-1}{2-1}=\boxed{\textcolor{red}{2^{64}-1}}$ somme de stermes consécutifs d'une suite géométrique de raison 2.

\noindent $N=\numprint{18446744073709551615}\approx \boxed{\textcolor{red}{1,84\times 1P^{19}}}$.

\item On considère que 1000 grains ont une masse de 43 \si{g}.% En déduire la masse en Kg que représenteraient les grains sur l'échiquier.
%http://www.fao.org/Wairdocs/X5163F/X5163f02.htm
On en déduit que : $m=\dfrac{43}{1000}$ \si{g}, soit $43\times 10^{-6}$ \si{kg}, donc $\boxed{\textcolor{red}{m=4,3\times 10^{-5}~\si{kg}}}$.

\noindent La masse des grains de blé placés sur échiquier vaut :

\noindent $M=Nm\approx 1,84\times 10^{19}\times 4,3\times 10^{-5}\approx \boxed{\textcolor{red}{7,912\times 10^{14}~\si{kg}}}$

\item La production mondiale de blé en 2013 fut de 653 millions de tonnes. %Comparer la masse de grains de blé sur l'échiquier à cette production mondiale.
$\mu=653\times 10^9~\si{kg}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mu=6,53\times 10^{11}~\si{kg}}}$.

\noindent $\dfrac{M}{\mu}\approx \dfrac{7,912\times 10^{14}}{6,53\times 10^{11}}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1211}}}$.

\noindent La masse de grains de blé sur l'échiquier serait \numprint{1211} celle de la production mondiale en 2013 !

%\noindent Que peut-on en conclure ?
%http://www.planetoscope.com/cereales/191-production-mondiale-de-ble.html
On peut en conclure que c'est impossible, donc c'est bien une légende.

\item %Un grain de blé occupe un volume d'environ 20 mm$^3$. Quel volume, en m$^3$, serait occupé par le blé placé sur l'échiquier ?
Le volume d'un grain de blé est 

$v=20\times \left(10^{-3}\right)^3~\text{m}^3=\boxed{\textcolor{red}{2\times 10^{-8}~\si{m}^3}}$. 

\noindent Le volume total occupé par les gains de blé serait $V=Nv$.

\noindent $V\approx 1,84\times 1P^{19}\times 2\times 10^{-8}\approx \boxed{\textcolor{red}{3,8\times 10^{11}~\si{m}^3}}$

\item I%maginons qu'on entrepose ce blé dans un silo à base carrée de 100 m de côté. Quelle devrait être la hauteur de ce silo ?
%http://denisfeldmann.fr/grands.htm#22
On aurait $V=100^2h=10^4\times h$ donc $h=\dfrac{V}{10^4}\approx 3,8\times 10^7~\si{m}\approx 3,8\times 10^4~\text{km}$, soit environ \numprint{38000} \si{km} (un dixième de la distance moyenne entre la Terre et la lune)
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par \[u_0=0\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}.\]
\begin{enumerate}

\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$u_1=\dfrac{3}{4}$ et $u_2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{18}{19}}}$

\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.

\noindent %Montrer qua le suite $\left(v_n\right)$ est géométrique ;  on en donnera le premier terme et la raison.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\dfrac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}=\dfrac{\frac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4}}{\frac{2u_n+3+3u_n+12}{u_n+4}}=\dfrac{u_n-1}{5u_n+15}=\dfrac{u_n-1}{5\left(u_n+3\right)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}v_n}}$.

\noindent La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0=-\dfrac{1}{3}$.

\item %Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0q^n$ dpnc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n}}$

\item %En utilisant la relation exprimant $v_n$ en fonction de $u_n$, exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
$v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}\Leftrightarrow v_n\left(u_n+3\right)=u_n-1\Leftrightarrow u_nv_n+3v_n=u_n-1\Leftrightarrow u_nv_n-u_n=-3v_n-1\Leftrightarrow u_n\left(v_n-1\right)=-3v_n-1$ d'où $u_n=\dfrac{-3v_n-1}{v_n-1}$ donc $u_n=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1+3v_n}{1-v_n}}}$.

\item %En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{1-\left(\frac15\right)^n}{1+\frac{1}{3}\times \left(\frac15\right)^n}=\dfrac{1-\frac{1}{5^n}}{1+\frac13\times \frac{1}{5^n}}}}$

\noindent %Vérifier que l'on retrouve les valeurs de $u_1$ et $u_2$ calculées à la première question.
Pour $n=1$, on trouve $\dfrac{1-\frac15}{1+\frac13\times \frac15}=\dfrac{\frac45}{\frac{16}{15}}=\dfrac{3}{4}=u_1$

\noindent Pour $n=2$, on trouve $\dfrac{1-\frac{1}{25}}{1+\frac{1}{75}}=\dfrac{\frac{24}{25}}{\frac{76}{75}}=\dfrac{24}{25}\times \dfrac{75}{76}=\dfrac{72}{76}=\dfrac{18}{19}=u_2$.`

\noindent on retrouve les termes calculés au début.

\item %Déterminer la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
$-1<q=\dfrac{1}{5}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$.

\noindent %En déduire la limite de $u_n$.
$u_n=\dfrac{1+3v_n}{1-v_n}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Nombre d'or et suite de Fibonacci}}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ de Fibonacci définie par $u_0=1$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.

\noindent On pose $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item 
%Vérifier que $\phi^2=\phi+1$.
$\phi^2=\left(\dfrac{1\sqrt{5}}{2}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=1+\phi$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\phi^2=\phi+1}}$

\item %En déduire une expression de $\phi^n$ sous la forme $a_n\phi+b_n$ où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers pour $n=3$, $n=4$ et $n=5$.
On en déduit :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\phi^3=\phi\times \phi^2=\phi\left(1+\phi\right)=\phi+\phi^2=\phi+\phi+1\\
\\
=\boxed{\textcolor{red}{2\phi+1}}$

\item $\phi^4=\phi\times \phi^3=\phi(2\phi+1)=2\phi^2+\phi\\
=2(\phi+1)+\phi=\boxed{\textcolor{red}{3\phi+2}}$

\item $\phi^5=\phi\times \phi^4=\phi(3\phi+2)=3\phi^2+2\phi\\
=3(\phi+1)+2\phi=\boxed{\textcolor{red}{5\phi+3}}$
\end{enumerate}


\item %Démontrer que, pour tout $n$, il existe des nombre $a_n$ et $b_n$  tels que $\phi^n=a_n\phi+b_n$.
Soit $P_n$ la proposition \og{}$\phi^n=a_n\phi+b_n$\fg{}.
Effectuons une démonstration par récurrence : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : pour $n=0$, $\phi^0=1=0\phi+1\\
=a_0\phi+b_0$  avec $a_0=0$ et $b_0=1$.

\item Hérédité : on suppose que $\phi^n=a_n\phi+b_n$ pour un entier $n$ avec $a_n$ et $b_n$ tentiers.

\noindent Alors : $\phi^{n+2}=\phi\times \phi^n=\phi\left[\left(a_n\phi+b_n\right)\right]=a_n\phi^2+b_n\phi=a_n(\phi+1)+b_n\phi$\\
$=\boxed{\textcolor{red}{\left(a_n+b_n\right)\phi+a_n=a_{n+1}\phi+b_{n+1}}}$ en posant $a_{n+1}=a_n+b_n\in\mathbb{N}$ et $b_{n+1}=a_n\in\mathbb{N}$.

\noindent La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'acide de récurrence, elle est vraie pour tout $n$ donc $\phi^n=a_n\phi+b_n$, $a_n$ et $b_n$ entiers naturels

\item %Établir des relations de récurrences donnant permettant de calculer les nombres $a_n$ et $b_n$.
On en déduit : $\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+b_n\\b_{n+1}=a_n\end{array}\right.~n\in\mathbb{N}$
\columnbreak
\item %Proposer un algorithme qui permette d'afficher les valeurs de $a_n$ et de $b_n$ pour un rang $n$ choisi par l'utilisateur.
\textbf{\textcolor{blue}{Algorithme : }}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{*{2}{l}}
Variables&$n$ est un entier naturel\\
&$i$ est un entier naturel\\
&$a$ est un entier naturel\\
&$b$ est un entier naturel\\
&$c$ est un entier naturel\\
Initialisation&Demander à l'utilisateur de \\
&choisir la valeur de $n$\\
&Affecter à i la valeur 0\\
&Affecter à a la valeur 0\\
&Affecter à b la valeur 1\\
Traitement&Tant que $i<n$\\
&Affecter  à $c$ la valeur $a$\\
&Affecter  à $a$ la valeur $c+b$\\
&Affecter  à $b$ la valeur $c$\\
&Affecter  à $i$ la valeur $i+1$\\
Affichage&Afficher $a$ et $b$
\end{tabular}
\end{minipage}}
\end{center}

Le code à taper dans Algobox serait :

\begin{algobox}
\Variables
\Ligne n EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne c EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne a EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne b EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne i EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\DebutAlgo
\Ligne AFFICHER "Choisir la valeur de n"
\Ligne LIRE n
\Ligne i PREND\_LA\_VALEUR 0
\Ligne a PREND\_LA\_VALEUR 0
\Ligne b PREND\_LA\_VALEUR 1
\Ligne c PREND\_LA\_VALEUR 0
\Tantque{(i<n)}
\DebutTantQue
\Ligne c PREND\_LA\_VALEUR a
\Ligne a PREND\_LA\_VALEUR c+b
\Ligne b PREND\_LA\_VALEUR c
\Ligne i PREND\_LA\_VALEUR i+1
\FinTantQue
\Ligne AFFICHER "Les valeurs de a et b sont :"
\Ligne AFFICHER a
\Ligne AFFICHER " et "
\Ligne AFFICHER b
\FinAlgo

\end{algobox}
\end{enumerate}


\end{multicols}



 \label{fin} 
 \end{document}  