\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,systeme}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur la fonction exponentielle (2 heures)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{}
%Simplifier les expressions suivantes :
%
%\begin{enumerate}[$A(x)= $]
%\item $\mathrm{e}^{x}\times \mathrm{e}^{x^2+1}$
%
%\bigskip
%
%\item $\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{\mathrm{e}^{x}}$
%\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(2 points)}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{e}^{x^2+2x}=\mathrm{e}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{3x^2}=\mathrm{e}^{5x-1}$.
\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Résoudre les inéquations : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{e}^{\frac3x}>\mathrm{e}^{1-x}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}>0$
\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Déterminer, en justifiant,  la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x) = x^2 + 2 - \mathrm{e}^{x}$

\bigskip

\item $g(x) =\dfrac{2\mathrm{e}^{x} - x}{x^2}$ \end{enumerate}
%\end{multicols}

\subsection{ \textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit g la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = x\left( \mathrm{e}^{x}- \mathrm{e}\right) + e - 2$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g’(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$.


\noindent Vérifier que la fonction dérivée seconde $g''$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g''(x) = (x+2)\mathrm{e}^{x}.$

\item En déduire les variations de la fonction $g’$ sur $[0~;~+\infty[$.


\item Etablir que l’équation $g'(x) = 0 $admet une unique solution 
$\alpha$ dans l’intervalle $[0~;~+\infty[$.


\noindent Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

\item En déduire les variations de g sur $[0~;~+\infty[$.

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(4,5 points)}}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) =
\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x} - x}.\]

On note $\mathscr{}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \mathrm{e}^{x} - x - 1$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. En déduire le signe de $g(x)$.

\item Montrer que, pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} - x$ est strictement positif.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

\item Interpréter graphiquement les résultats précédents.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.

\item Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variation.

\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathscr{\mathscr{C}}$ au point d’abscisse 0.



\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(4,5 points)}}
On considère les points B(100~;~100) et C$\left(50~;~\dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)$ et la droite (D) d’équation $y = x$.


\noindent On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative, notée $\Gamma$ est donnée ci-dessous.

On suppose de plus qu’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  pour tout réel x, $f(x) = x\mathrm{e}^{ax+b}$.

\item les points B et C appartiennent `a la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le couple $(a~;~b)$ est solution du système :
\systeme{100a + b = 0,50a + b =-\dfrac{1}{2}}

\item En déduire que, pour tout réel x, $f(x) = x\mathrm{e}^{0,01x-1}$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

\item 
\begin{enumerate}

\item Montrer que pour tout réel x, $f(x) =\dfrac{100}{\mathrm{e}} \times  0,01x\mathrm{e}^{0,01x}$.

\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$
\end{enumerate}

\item Etudier les variations de $f$. On donnera le tableau de variations complet.

\item Etudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite (D).
\end{enumerate}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{unit=0.065cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-150.,-30.)(140.,190.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20.,Dy=20.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-140.,-20.)(140.,180.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-140.0}{140.0}{x*EXP(0.01*x-1.0)}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](100.,100.)
\uput[r](102,100){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](50.,30.32653298563167)
\uput[d](56,32.98464362509568){\blue{$C$}}
\uput[d](70,51.86){$\mathscr{C}$}
\multido{\n=-140+20}{28}{\psline(\n,-20)(\n,180)}
\multido{\n=-140+20}{28}{\psline(-140,\n)(140,\n)}
\end{pspicture*}


\label{fin}
\end{document}  