\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}\textcolor{red}{TS : Propriétés algébriques des nombres complexes} }\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Produit}}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.

\item Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item Pour $n$ quelconque, que vaut $j^n$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Conjugué d'une nombre complexe}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Pour tout nombre complexe $z=x+\mathrm{i}y$, on appelle conjugué de $z$ le nombre $\overline{z}=x-\mathrm{i}y$
\end{bclogo}

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{2+3\mathrm{i}}$ et $\overline{5-7\mathrm{i}}$.

\item Pour un nombre $z$ quelconque, calculer $\overline{\overline{z}}$.

\item Soit $z$ l'affixe d'un point M et soit M' le point d'affixe $\overline{z}$. Quel lien y a-t-il entre M et M' ?

\item Soit $z=x+\mathrm{i}y$. Montrer que $z\overline{z}\in\mathbb{R}$.

\item Soit M un point d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Quel lien y a-t-il entre $z\overline{z}$ et la distance OM ?

\item Soit $z=3+4\mathrm{i}$ ; calculer $z\overline{z}$.

\item Soit $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$. Calculer $z\overline{z}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'un nombre complexe}}
Soit $z=x+\mathrm{i}y$ un nombre complexe non nul.

\begin{enumerate}

\item Donner la forme algébrique de $\dfrac{1}{z}$. (indication : utiliser la définition vue dans le I pour avoir un nombre réel au dénominateur).

\item Donner la forme algébrique des n,ombres complexes suivants :
$\dfrac{1}{\mathrm{i}}$, $\dfrac{1}{2+3\mathrm{i}}$~;~$\dfrac{1}{7-4\mathrm{i}}$~;~$\dfrac{1}{j}$ où \\
$j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Quotient de deux nombres complexes}}

\begin{enumerate}
\item Soient $z=x+\mathrm{i}y$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$ deux nombres complexes, avec $z'\neq 0$.

En remarquant que $\dfrac{z}{z'}=z\times \dfrac{1}{z'}$, trouver la forme algébrique de $\dfrac{z}{z'}$.

\item Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
$\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-7\mathrm{i}}$~;~$\dfrac{5+9\mathrm{i}}{5-9\mathrm{i}}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}\textcolor{red}{TS : Propriétés algébriques des nombres complexes} }\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Produit}}
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.

Montrer que $(a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$.

\item Calculer $(1+\mathrm{i})^2$, $(1+\mathrm{i})^3$ et $(1+\mathrm{i})^4$.

\item On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item Pour $n$ quelconque, que vaut $j^n$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Conjugué d'une nombre complexe}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Pour tout nombre complexe $z=x+\mathrm{i}y$, on appelle conjugué de $z$ le nombre $\overline{z}=x-\mathrm{i}y$
\end{bclogo}

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{2+3\mathrm{i}}$ et $\overline{5-7\mathrm{i}}$.

\item Pour un nombre $z$ quelconque, calculer $\overline{\overline{z}}$.

\item Soit $z$ l'affixe d'un point M et soit M' le point d'affixe $\overline{z}$. Quel lien y a-t-il entre M et M' ?

\item Soit $z=x+\mathrm{i}y$. Montrer que $z\overline{z}\in\mathbb{R}$.

\item Soit M un point d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Quel lien y a-t-il entre $z\overline{z}$ et la distance OM ?

\item Soit $z=3+4\mathrm{i}$ ; calculer $z\overline{z}$.

\item Soit $z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$. Calculer $z\overline{z}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'un nombre complexe}}
Soit $z=x+\mathrm{i}y$ un nombre complexe non nul.

\begin{enumerate}

\item Donner la forme algébrique de $\dfrac{1}{z}$. (indication : utiliser la définition vue dans le I pour avoir un nombre réel au dénominateur).

\item Donner la forme algébrique des n,ombres complexes suivants :
$\dfrac{1}{\mathrm{i}}$, $\dfrac{1}{2+3\mathrm{i}}$~;~$\dfrac{1}{7-4\mathrm{i}}$~;~$\dfrac{1}{j}$ où \\
$j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Quotient de deux nombres complexes}}

\begin{enumerate}
\item Soient $z=x+\mathrm{i}y$ et $z'=x'+\mathrm{i}y'$ deux nombres complexes, avec $z'\neq 0$.

En remarquant que $\dfrac{z}{z'}=z\times \dfrac{1}{z'}$, trouver la forme algébrique de $\dfrac{z}{z'}$.

\item Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
$\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-7\mathrm{i}}$~;~$\dfrac{5+9\mathrm{i}}{5-9\mathrm{i}}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  