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\begin{document}

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{TS : TD 1 sur les limites de fonctions}}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Étudier les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(2x^2-3x+5\right)$

\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\dfrac{2x+3}{3x^2+5x+9}$

\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\dfrac{x^2+4}{3x+1}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f: x\longmapsto \frac{x^2+3x+1}{x+2}$.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

\item Montrer que la droite $(d)$ d'équation : $y=x+1$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\end{enumerate}
\subsection{}
Étudier la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de  \[f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}.\]


\subsection{}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative, dans un reère du plan, de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :\\
$f(x)=\sqrt{x^2+4}-3x$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer : $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.

\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation 

\noindent $y=-4x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ en $-\infty$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$.

\item Démontrer que la droite d'équation 

\text{ d}$y=-2x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}}\end{center}



\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie par \[f:x\longmapsto \dfrac{x^2}{x-1}.\]

\begin{enumerate}

\item Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.

\item Calculer les limites à l'infini de $f(x)$.

\item Montrer que pour tout $x\in\mathscr{D}_f$, \[f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}.\]

\item Montrer que la courbe représentative de  $f$ admet une asymptote $\mathscr{D}$ oblique à l'infini.

\item Étudier la position de la courbe représentative de $f$  et de l'asymptote $\mathscr{D}$.

\end{enumerate}


\end{multicols}


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%\subsection*{\textcolor{red}{TS : TD 1 sur les limites de fonctions}}
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%\subsection{}
%Étudier les limites suivantes :
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%\begin{enumerate}[a)]
%\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(2x^2-3x+5\right)$
%
%\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\dfrac{2x+3}{3x^2+5x+9}$
%
%\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\dfrac{x^2+4}{3x+1}$
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Soit $f: x\longmapsto \frac{x^2+3x+1}{x+2}$.
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%\begin{enumerate}
%\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
%
%\item Montrer que la droite $(d)$ d'équation : $y=x+1$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
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%\end{enumerate}
%\subsection{}
%Étudier la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de  \[f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}.\]
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%\subsection{}
%Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative, dans un reère du plan, de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :\\
%$f(x)=\sqrt{x^2+4}-3x$.
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer : $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.
%
%\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=-4x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ en $-\infty$.
%\end{enumerate}
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%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$.
%
%\item Démontrer que la droite d'équation $y=-2x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
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%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}}\end{center}
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%\subsection{}
%On considère la fonction $f$ définie par \[f:x\longmapsto \dfrac{x^2}{x-1}.\]
%
%\begin{enumerate}
%
%\item Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.
%
%\item Calculer les limites à l'infini de $f(x)$.
%
%\item Montrer que pour tout $x\in\mathscr{D}_f$, \[f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}.\]
%
%\item Montrer que la courbe représentative de  $f$ admet une asymptote $\mathscr{D}$ oblique à l'infini.
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%\item Étudier la position de la courbe représentative de $f$  et de l'asymptote $\mathscr{D}$.
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