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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS  : TD \no 1 sur la dérivation}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes, pour $x\in\mathscr{D}$ :

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^5+\frac{1}{2}x^4-2x^3+5x-1$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$

\item $f(x)=(3x-1)\sqrt{x}$, $\mathscr{D}=]0 ;+\infty[$

\item  $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+2}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2 \}$

\item  $f(x)=\frac{1}{3x^2+5}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :


\begin{enumerate}[$f_1(x)=~$]
\item $\left(\dfrac{3x-4}{x-1}\right)^5$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$

\item $\sin\left(\pi x^2+1\right)$ sur $\mathbb{R}$

\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$ sur $\mathbb{R}^*$

\item $\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}$ sur $]1~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :
$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.

\subsection{}
Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.

\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.

\item La démontrer.
\end{enumerate}

\end{multicols}


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%\subsection{}
%Calculer la dérivée des fonctions suivantes, pour $x\in\mathscr{D}$ :
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%\begin{enumerate}
%\item $f(x)=x^5+\frac{1}{2}x^4-2x^3+5x-1$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$
%
%\item $f(x)=(3x-1)\sqrt{x}$, $\mathscr{D}=]0 ;+\infty[$
%
%\item  $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+2}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2 \}$
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%\item  $f(x)=\frac{1}{3x^2+5}$, $\mathscr{D}=\mathbb{R}$\\
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%\subsection{}
%Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :
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%\begin{enumerate}[$f_1(x)=~$]
%\item $\left(\dfrac{3x-4}{x-1}\right)^5$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$
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%\item $\sin\left(\pi x^2+1\right)$ sur $\mathbb{R}$
%
%\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$ sur $\mathbb{R}^*$
%
%\item $\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}$ sur $]1~;~+\infty[$
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :
%$f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x.$\\
%Démontrez que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse -1.
%
%\subsection{}
%Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f''$ la dérivée de $f'$ $\left(f''=\left(f'\right)'\right)$, $f^{(3)}$ la dérivée de $f''$ et plus généralement $f^{(n)}$ la dérivée de $f^{(n-1)}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $f'(x)$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$.
%
%\item Conjecturer alors l'expression de $f^{(n)}(x)$ en fonction de $n$.
%
%\item La démontrer.
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\label{fin}
\end{document}  