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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}}
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]\index{fonction avec exponentielle}

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, la courbe
représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\def\pshlabel#1{\small#1}
\def\psvlabel#1{\small#1}
\begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4)
\psframe(-2.75,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}
\uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\item Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.\index{asymptote}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 3 - f(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb{R}$.
\item On désigne par $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$.

Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$.\index{primitive}
\item  Soit $a$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$.\index{aire et intégrale}
		\item Démontrer que $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
		\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant & 0\\
f(x) &\leqslant y&\leqslant 3
\end{array}\right.$

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}
On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : \index{suite}

pour tout entier naturel $n$,\quad  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
		\item En déduire la valeur exacte de $u_1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme
de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
&$u$ est un réel\\
Entrée :& Saisir $n$\\
Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
Traitement :& Pour $i$ variant de 1 à \ldots\\
&\hspace{0.4cm}$|$Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
&Fin de Pour\\
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$n$	 & 0 		&1 			&2 			&3 			&4 			&5 			&10 		&50 	 &100\\ \hline
$u_n$&\numprint{0,6931}&\numprint{0,3069}&\numprint{0,1931}&\numprint{0,1402}&\numprint{0,1098}&\numprint{0,0902}&\numprint{0,0475}&\numprint{0,0099} &\numprint{0,0050}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item  On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2015}}
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} 
\uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} 
\uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture} }\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective
cavalière. Les quadrilatères OAD$'$D, DD$'$C$'$C, et OAB$'$B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD$'$ = 10, sa
longueur OD est de 20~mètres.}
\bigskip

\textbf{Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.}

\medskip

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par

\[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]\index{fonction logarithme népérien}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère (O, I, J).
\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{\textbf{Partie 1} 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
[0~;~20], on a $f'(x) = \ln (x + 1) -2$.
\item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 20]
et dresser son tableau de variation.
\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
 \end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.222cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(23,13.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(23,13.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\uput[u](15,7){$\mathcal{C}$}\uput[d](20,0){D}\uput[l](0,7.07){B}\uput[dr](20,10.935){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}  
\end{pspicture}}

\medskip
 
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.
 
\textbf{4.} On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~20]  par

\[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\]

a pour dérivée la fonction   $g'$ définie sur l'intervalle
[0~;~20] par $g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)$.

Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Les trois questions de cette partie sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ] P$_1$ : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
\item[ ] P$_2$ : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\item On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m$^2$ par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
\textbf{3.} On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure
du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère
dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k~;~f(k))$ pour $k$ variant de 0 à 20.

Ainsi, $B_0 =$ B.



}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.18cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\footnotesize A} \uput[l](0,7.07){\footnotesize B} 
\uput[ul](7.07,14.14){\footnotesize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} 
\uput[d](20,0){\footnotesize D} \uput[dr](27.07,7.07){\footnotesize D$'$} \uput[d](1,0){\footnotesize I}
\psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[dl](1,5.39){\footnotesize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$}
\psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[dl](2,4.3){\footnotesize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$}
\psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\footnotesize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} 
\psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[dr](9,3.03){\footnotesize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\footnotesize $B'_{k+1}$}  
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture} }

\medskip

On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C}$
allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$.

Ainsi l'aire de la surface à peindre sera  approchée par la somme des aires des
rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k$ (voir figure).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $k$ variant de 0 à 19, 
		
		$B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}$.
		\item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline		
Variables 	&$S$ : réel\\
			&$K$ : entier\\
Fonction 	&$f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline
Traitement	&$S$ prend pour valeur $0$\\
			&Pour $K$ variant de \ldots à \ldots\\
			&\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\
			&Fin Pour\\ \hline
Sortie 		&Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  