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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les complexes (feuille 1)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(D'après Liban mai 2003)}}

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :

\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \]

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 
$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$,  d'unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C, P d'affixes 
respectives : 

\[z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 
6\text{i},~z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 
3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}\]
 et le vecteur $\overrightarrow{w}$ d'affixe $z_{\overrightarrow{w}} = - 1 + 
\dfrac{5}{2}\mathrm{i}.$

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du 
point  B dans la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{w}$.

		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, défini par l'égalité vectorielle $\overrightarrow{\text{CR}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{CP}}$.

		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, défini par $z_S-z_A=-\mathrm{i}\left(z_P-z_A\right)$.
		
\item Placer les points P, Q, R et S.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que le quadrilatère PQRS est un 
parallélogramme.

		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - 
z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$.

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

		\item Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un 
même cercle, noté $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son 
centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.

	\end{enumerate}

\item La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ?

\end{enumerate}

\subsection{}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé 
$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

\noindent On désigne par A, B et J les points d'affixes respectives $-\mathrm{i}$, $1-\mathrm{i}$ et $\mathrm{i}$.

\noindent On désigne  par $\Delta$ la médiatrice du segment [AB] et par $\mathscr{C}$ le cercle de centre O et de rayon 1.

À tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de $1-\mathrm{i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z'=\dfrac{\mathrm{i}\left(z+\mathrm{i}\right)}{z-1+\mathrm{i}}\]
Le point M' est appelé image du point M.

\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points A' et O'.

\item Faure une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice. (unité graphique 4 cm).

\item Montrer que l'équation $z=\dfrac{\mathrm{i}\left(z+\mathrm{i}\right)}{z-1+\mathrm{i}}$ admet deux solutions que l'on précisera.

\noindent On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions.

\item Justifier que les points E et F appartiennent au cercle $\mathscr{C}$ et les placer sur la figure.

\item Soit $M$ un point  distinct du point B et soit $M'$ son image.
\begin{enumerate}
\item Exprimer la distance $OM'$ en fonction des distances $AM$ et $BM$.

\item En déduire que si le point $M$ décrit la droite $\Delta$, alors le point $M'$ décrit un cercle que l'on précisera.

\item Montrer que si le point M décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point $M'$ appartient à une droite que l'on préciser.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2012}}
%Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 
%
%On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$. 
% 
%On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$.
% 
%On note enfin B image du point A$_{1}$ par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point 8. 
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. On prendra 2~cm comme unité graphique. 
%		\item Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
% 
%Placer alors le point B dans le même repère.
%	\end{enumerate} 
%\item On considère le vecteur unitaire $
%\overrightarrow{w}$, tel que $\left(
%\overrightarrow{u},~
%\overrightarrow{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $
%\overrightarrow{w}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. 
%		\item Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(
%\overrightarrow{\text{OA}},~ 
%\overrightarrow{\text{OB}}\right)$.
%		 
%En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$.
%	\end{enumerate} 
%\item On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~
%\overrightarrow{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par la rotation $r$. Démontrer que B$'$ = A. 
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$. 
%
%Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D 
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2008 (sauf la fin)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : 

\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ d'unité graphique 2~cm. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : 
		\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
		 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? 
		\item En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$. 
		\item ÉTtudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
		
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ par : 

\[ 
	f"(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	
	\end{enumerate}
\item On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. 

Tracer la courbe  $\mathcal{C}$, les tangentes $\mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm. 
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :  $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$.
%		\item Soit $\lambda$ un réel strictement négatif. 
%		
%On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par  $\mathcal{D}_{1},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \lambda$ et $x = 0$.
% 
%Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right)$. 
%		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$.
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  