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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Alph{section}}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}

\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 6 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
21 mai 2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 6 (4 heures)}}
}\end{center}

Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

\vspace{1cm}

\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2014
\label{Exo1}
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

Le graphique sera fait sur la feuille annexe et complété au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 

\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
\index{complexes} 
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.
 
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 

On laissera les traits de construction apparents. 
\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 

\[|f(z) - 8| = 3.\]
\index{complexes et géométrie}
 
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

Tracer (F) sur le graphique. 
\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est 

\[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
 
		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
		 
Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
 
Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
\end{enumerate}


\subsection{}%Centres étrangers juin 2014
\label{exo2}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante : 	

r
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $x = 0$ pour le blanc ; 
\item[$\bullet~~$] $x = 1$ pour le noir; 
\item[$\bullet~~$] $x = 0,01 \:;\: x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
 
Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites \og fonctions de retouche \fg.
 
Une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] est dite \og fonction de retouche \fg{} si elle possède les quatre propriétés suivantes : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(0) = 0$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 1$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f$ est continue sur l'intervalle [0~;~1] ; 
\item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$.
 
Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée

 $0,2^2 = 0,04$. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. 
 
Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64}
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89}
\end{pspicture}\\
Image A& 
Image B& 
Image C
\end{tabularx}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche. 
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. 

Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\]
 
On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. 

On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. 
		
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ;  
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 
\index{maximum d'une fonction}
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$. 
		\item Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, 
avec $\alpha < \beta$.
 
On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale 
à $0,05$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.
 
Quel est le rôle de cet algorithme ?\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Variables :}& 	$x$ (nuance initiale)\\ 
&$y$ (nuance retouchée) \\
&$E$ (écart)\\ 
&$c$ (compteur)\\
& $k$\\ 
\textbf{Initialisation :}& 	$c$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\
&\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
$x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\ 
$y$ prend la valeur $f(x)$\\ 
$E$ prend la valeur $|y - x|$
\end{tabular}\\
	&\hspace{2cm}\begin{tabular}{l} 
	Si $E \geqslant 0,05$, faire\\ 
\quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\
Fin si
\end{tabular}\\ 
&Fin pour\\
\textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, 
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) \leqslant  x$.
 
On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire $\mathcal{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la 
courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d'équations  respectives $x = 0$ et $x = 1$.

\index{intégrale et aire} 
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image ~ celle correspondant à la plus petite aire. 
On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet 
qu'elles sont des fonctions de retouche :} \hfill
\parbox{0.36\linewidth}{\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\psline(1,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
}
 
\[f_{1}(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\qquad  
f_{2}(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{f_{1}}$.
		\item Calculer $\mathcal{A}_{f_{2}}$
	\end{enumerate} 
\item De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ? 
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion septembre 2008}}
%Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.\\
% La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges.\\
%  La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges.\\
%   Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.\\
%    La règle du jeu est la suivante :
%    \begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 	Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A.
%\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
%\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
%\end{itemize}
%\begin{enumerate}
%\item  Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
%
%\item  Soient E et F les évènements :
%
%    \begin{itemize}
%\item[] E :  \og à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges \fg
%\item[] F :  \og à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge \fg.
%\end{itemize}
%Montrer que $p(\text{E}) =  0,02$ et $p(\text{F}) =  0,17$.
%
%\item  Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur
%reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien.\\
%$X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro).
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
%		\item   Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation.
%	\end{enumerate}
%\item Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que $p_{n} =  1 - (0,9)^n$.
%		\item   Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite.
%		\item   Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ?
% 	\end{enumerate}
%\end{enumerate}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

Dans un stand, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$. Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$.

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A_n$ l'évènernant \og{}La n-ième cible est atteinte\fg{} ;

\item $B_n$ l'évènement \og{}La n-ième cible n'est pas atteinte\fg{} ;

\item a$_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ ;

\item $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$.

Calculer $a_2$ et $b_2$. On peut utiliser un arbre pondéré.

\item Montrer que, pour tout $n$ entier supérieur ou égal 1, 
$a_{n+1}=\dfrac{3}{4}a_n+\dfrac{1}{2}b_n$, puis $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}a_n+\dfrac{1}{2}$.

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_n =a_n - \dfrac{2}{3}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$.

Préciser son premier terme $u_1$.

\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.

Interpréter le résultat. 

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}%Amérique du Nord mai 2014
\label{Exo4}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]\index{fonction exponentielle}
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$  dans un repère orthogonal du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$g(x) > 0$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera.
 
En donner une interprétation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude d'une aire}

\medskip
 
On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$. \index{aire et intégrale}
\item Justifier que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathcal{A}(x)$. 
\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathcal{A}(x) = 2$ ? 
\end{enumerate}


\end{multicols}

\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV  (spécialité)}}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}

\medskip
 
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
 
Rapidement les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] $S$ : \og l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté \fg, 
\item[ ] $I$ : \og l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté \fg, 
\item[ ] $M$ : \og l'individu est malade et infecté \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\index{graphe}

Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les $100$~personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à $\dfrac{1}{3}$ et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{3}$, 
\item parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
La situation peut être représentée par un \index{graphe} graphe probabiliste comme ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4)
%\psgrid
\cnodeput(3,3){S}{$S$}
\cnodeput(1,1){I}{$I$}
\cnodeput(5,1){M}{$M$}
\nccircle{->}{S}{0.4cm}
\nccircle[angleA=-180]{<-}{I}{0.4cm}
\nccircle[angleA=-180]{->}{M}{0.4cm}
\ncarc{<-}{I}{S}\rput(1.55,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
\ncarc{->}{S}{M}\rput(4.45,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
\ncarc{->}{I}{M}\rput(3,0.7){$\dfrac{1}{2}$}
\rput(3.8,3.4){$\dfrac{1}{3}$}\rput(5.6,0.4){1} \rput(0.4,0.4){$\dfrac{1}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On note $P_{n} = \left(s_{n}\quad i_{n}\quad m_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines où $s_{n}, i_{n}$ et $m_{n}$désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la $n$-ième semaine. 

On a alors $P_{0} = (0,99\quad 0\quad 0,01)$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[\renewcommand\arraystretch{1.7}
\left\{\begin{array}{l c l}
s_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n}\\
i_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\
m_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice $A$ appelée \emph{matrice de transition}, telle que pour tout entier naturel $n,\:$

$P_{n+1} = P_{n} \times A$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$P_{n} = P_{0} \times A^n$.
\item Déterminer l'état probabiliste $P_{4}$ au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à $10^{- 2}$.
 
Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population.
 
L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition : 

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\[B = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

On note $Q_{n}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, $Q_{n} = \left(S_{n}\quad I_{n}\quad M_{n}\right)$ où $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$ désignent respectivement la  probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la $n$-ième semaine après la vaccination. 

Pour tout  entier naturel $n$, on a alors $Q_{n+1}  = Q_{n} \times B$.

D'après la partie A, $Q_{0}  = P_{4}$. Pour la suite, on prend $Q_{0} = (0,01\quad  0,10\quad 0,89)$ où les coefficients ont été 
arrondis à $10^{–2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $S_{n+1}, I_{n+1}$ et $M_{n+1}$ en fonction de $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$.
\item Déterminer la constante réelle $k$ telle que $B^2  = kJ$ où $J$ est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
 
On en déduit que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2,  $B^n  = B^2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $Q_{n} = \left(\dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\quad 
\dfrac{1}{3}\right)$. 
		\item Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. 
		
Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}}
\end{center}

\large \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L' \ref{Exo1}}}
\vspace{0,5cm}




\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec u$,d][$\vec v$,l]
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){$O$}
%\psset{linecolor=red}
%\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
%\psline(-1,\ymin)(-1,\ymax)
%\psdots(2;120)(2;-120)
%\uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$}
%\psset{linecolor=blue}
%\pscircle(-1,0){1.732}
%\uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$}
%\psdots(-1,0)
%\uput[ul](-2,1.4){\blue (F)}
%\uput[d](2.5,0){$D_1$}
%\uput[l](-1,2.5){\red $D_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\large \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L' \ref{exo2}}}

\begin{center}
\psset{unit=6.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.2)(1.25,1.2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.4,-0.2)(1.25,1.2)
\psframe(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
\end{pspicture} 

\end{center}

\vspace{1cm}

\large \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L' \ref{Exo4} (ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE)}}

\vspace{0,5cm}
	
\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)}
\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub}
\uput[ul](4,1.15){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}




\label{fin}
\end{document}  